# 088 : 積和数

少なくとも2つの自然数からなる多重集合$$\{a_1, a_2, \dots , a_k\}$$の和としても積としても表せる自然数$$N$$を積和数と呼ぶ：$$N = a_1 + a_2 + \dots + a_k = a_1 × a_2 × \dots × a_k$$

（訳注：原文にはsetとあるが、下の例では1,1,2,4などと要素が重複することを許しているのでこれは集合ではない。）

例えば $$6 = 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3$$である。

ある多重集合の大きさ$$k$$に対して、この性質を持つ最小の$$N$$を最小積和数と呼ぼう。\
多重集合の大きさ$$k = 2, 3, 4, 5, 6$$に対する最小積和数は次のとおりである。

* $$k=2: 4 = 2 × 2 = 2 + 2$$
* $$k=3: 6 = 1 × 2 × 3 = 1 + 2 + 3$$
* $$k=4: 8 = 1 × 1 × 2 × 4 = 1 + 1 + 2 + 4$$
* $$k=5: 8 = 1 × 1 × 2 × 2 × 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2$$
* $$k=6: 12 = 1 × 1 × 1 × 1 × 2 × 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 6$$

したがって、$$2 ≤ k ≤ 6$$に対して,全ての最小積和数の和は$$4+6+8+12 = 30$$である。\
8 は和に一度だけカウントされていることに気をつけよう。

実際、$$2 ≤ k ≤ 12$$に対する最小積和数の完全な集合は$$\{4, 6, 8, 12, 15, 16\}$$なので、その和は61である。

$$2 ≤ k ≤ 12000$$に対する全ての最小積和数の和は何か？
