# 137 : フィボナッチ金塊

フィボナッチ数列$$F_k = 1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$$すなわち$$F_k = F_{k-1} + F_{k-2}, F_1 = 1, F_2 = 1$$によって与えられる無限級数$$A_F(x) = xF_1 + x^2F_2 + x^3F_3 + \dots$$を考える.

この問題では, $$A_F(x)$$が正の整数となるような$$x$$の値について考える. 驚くべきことに, $$A_F(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})\times 1 + (\frac{1}{2})^2\times 1 + (\frac{1}{2})^3\times 2 + (\frac{1}{2})^4\times 3 + (\frac{1}{2})^5\times 5 + \dots = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \dots = 2$$である.

最初の5つの自然数に対する x の値を下表に示す.

| $$x$$                     | $$A_F(x)$$ |
| ------------------------- | ---------- |
| $$\sqrt{2}−1$$            | 1          |
| $$\frac{1}{2}$$           | 2          |
| $$\frac{\sqrt{13}-2}{3}$$ | 3          |
| $$\frac{\sqrt{89}-5}{8}$$ | 4          |
| $$\frac{\sqrt{34}-3}{5}$$ | 5          |

xが有理数のときの$$A_F(x)$$の値を, 非常に稀なので, "金塊" (golden nugget) と呼ぶ. 実際, 10番目の"金塊"は74049690である.

15番目の"金塊"を求めよ.
