# 167 : Ulam数列について調べ上げよ

正の整数$$a,b$$について, Ulam数列$$U(a,b)$$は以下のように定義される.$$U(a,b)_1 = a , U(a,b)_2 = b$$,$$k > 2$$については, $$U(a,b)_k$$は二つの異なった$$U(a,b)$$のそれまでの値の和としての表し方が一通りである数の$$U(a,b)_{k-1}$$を超える最小値となる.

例えば, 数列$$U(1,2)$$は,\
1, 2, 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3, 6 = 2 + 4, 8 = 2 + 6, 11 = 3 + 8; となる.\
5は, 5 = 1 + 4 = 2 + 3 というように二つの和の表し方があるのでこの数列に含まれない. 7 = 1 + 6 = 3 + 4 も同様である.

$$\sum U(2,2n+1)_{1e11}$$を$$2 ≤ n ≤10$$について求めよ.

\----書き直してみる。

正の整数$$a,b$$に対して、Ulam数列$$U(a,b) = u_1, u_2, \dots$$は次のように定義される。\
$$u_1 = a$$\
$$u_2 = b$$\
$$k>2$$について$$u_k$$は$$u_{k-1}$$を超える最小の値で、$$U(a,b)$$のそれ以前の要素$$\{u_1,\dots,u_{k-1}\}$$のうち異なる２要素の和としてただ１通りの表し方を持つ値とする。

例えば$$U(1,2)$$は\
$$u_1 = 1$$\
$$u_2 = 2$$\
$$u_3 = 1 + 2 = 3$$\
$$u_4 = 1 + 3 = 4$$\
$$u_5 = 2 + 4 = 6$$\
$$u_6 = 2 + 6 = 8$$\
$$u_7 = 3 + 8 = 11$$\
$$\vdots$$\
となる。$$u_5$$は、$$5 = 1 + 4 = 2 + 3$$というように二つの和の表し方があるので5にならず、5はこの数列に含まれない. $$u_6$$における$$7 = 1 + 6 = 3 + 4$$も同様である。

$$U(a,b)$$の第$$k$$項$$u_k$$を$$U(a,b)[k]$$と表す。$$\displaystyle \sum_{n=2}^{10} U(2,2n+1)[10^{11}]$$を求めよ。
