# 255 : 丸め平方根

正整数$$n$$の**丸め平方根** (rounded-square-root)を、$$n$$の平方根を一番近い整数に丸めたものと定義する。

次の方法（本質的には整数論に適用したヘロンの方法）で$$n$$の丸め平方根が求まる：

$$d$$を数$$n$$の桁数とする。\
もし$$d$$が奇数なら、$$x_0 = 2 × 10^{(d-1)/2}$$とする。\
もし$$d$$が偶数なら、$$x_0 = 7 × 10^{(d-2)/2}$$とする。

$$x_{k+1} = x_k$$となるまで$$\displaystyle x_{k+1} = \left \lfloor \frac{x_k + \lceil n/x_k \rceil}{2} \right \rfloor$$を繰り返す。

例として、$$n = 4321$$の丸め平方根を求めてみよう。\
$$n$$は4桁であるので、$$x_0 = 7 × 10^{(4-2)/2} = 70$$である。\
$$\displaystyle x_1 = \left \lfloor \frac{70 + \lceil 4321 / 70\rceil}{2} \right \rfloor = 66$$\
$$\displaystyle x_2 = \left \lfloor \frac{66 + \lceil 4321 / 66 \rceil}{2} \right \rfloor = 66$$

$$x_2 = x_1$$なのでここで止める。\
つまり、たった 2 回の繰り返しで、4321の丸め平方根は 66 であることがわかる。（実際の平方根は 65.7343137... である。）

この方法を使うと繰り返しの回数は意外に少ない。例えば、5 桁の整数(10,000 ≤ n ≤ 99,999) では平均 3.2102888889 である。（平均は小数点以下 10 桁に四捨五入した。）

上記の方法を用いて、14桁の数$$(10^{13} ≤ n < 10^{14})$$の丸め平方根を求めるのに必要な繰り返しの回数の平均を求めよ。\
回答は小数点以下10桁に四捨五入せよ。

注意：記号$$\lfloor x \rfloor$$と$$\lceil x \rceil$$はそれぞれ床関数と天井関数を表す。
