260 : 石取りゲーム

3 つの石の山と 2 人のプレイヤーでゲームを行う。 それぞれのターンで、プレイヤーは 1 個以上の石を山から取る。しかし、2 つ以上の山から取る場合は、選んだそれぞれの山から同じ数の石を取らないといけない。

つまり、プレイヤーは N>0 を選んで取る：

• N 個の石を 1 つの山から取る、または

• N 個の石を 2 つの山からそれぞれ取る（合計 2N 個）、または

• N 個の石を 3 つの山からそれぞれ取る（合計 3N 個）

最後の石を取ったプレイヤーが勝者である。

勝利状態とは最初のプレイヤーが勝つ状態のことである。 例えば、(0,0,13), (0,11,11), (5,5,5) は、最初のプレイヤーが全ての石を一度に取れるから勝利状態である。

敗北状態とは最初のプレイヤーがどんなことをしても 2 人目のプレイヤーが勝つ状態のことである。 例えば、(0,1,2) と (1,3,3) は敗北状態である。ルール上のどんな手を取っても 2 人目のプレイヤーの勝利状態となる。

$x_i ≤ y_i ≤ z_i ≤ 100$を満たす全ての敗北状態$(x_i,y_i,z_i)$について考える。 この場合$\sum (x_i+y_i+z_i) = 173895$であることがわかる。

$x_i ≤ y_i ≤ z_i ≤ 1000$を満たす全ての敗北状態であるを表す$(x_i,y_i,z_i)$について $\sum (x_i+y_i+z_i)$を求めよ。