# 325 : 石取りゲーム その2

2つの石の山と2人のプレイヤーでゲームをする。\
それぞれの手番で、プレイヤーは大きいほうの山から石を取り除く。\
取り除く石の個数は、小さい方の山の石の個数の正の整数倍でなくてはならない。

例えば、順序つきの対 (6,14) で、小さいほうの山に6個の石、大きいほうの山に14個の石がある状態を表すとすると、先手は大きいほうの山から6個または12個の石を取り除くことができる。

いずれかの山から石を全て取り除いたプレイヤーが勝利する。

先手が必勝となる状態を**勝利状態**と呼ぶ。例えば、(1,5), (2,6), (3,12) は、先手は二つ目の山から即座に全ての石を取り除けるため、勝利状態である。

先手がどうしようとも後手が必勝となる状態を**敗北状態**と呼ぶ。例えば、(2,3)や(3,4)は敗北状態である：どのような手をとっても後手が勝利状態となる。

$$0< x_i < y_i \leq N$$について、すべての敗北状態$$(x_i, y_i)$$に対する$$x_i+y_i$$の総和を$$S(N)$$と定義する。$$S(10) = 211, S(10^4) = 230312207313$$となることが確かめられる。

$$S(10^{16}) \mod 7^{10}$$を求めよ。
