# 330 : オイラー数

全ての整数$$n$$に対し、実数の無限数列$$a(n)$$は次のように定義される：

$$a(n) = \left \{ \begin{array}{ll} 1 & n < 0 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^\infty \frac{a(n-i)}{i!} & n \geq 0 \end{array} \right .$$

例えば、

$$\displaystyle a(0) = \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = e - 1$$

$$\displaystyle a(1) = \frac{e-1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = 2e - 3$$

$$\displaystyle a(2) = \frac{2e-3}{1!} + \frac{e-1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = \frac{7}{2}e - 6$$

ここで$$e = 2.7182818...$$はオイラーの定数である。

$$a(n)$$は整数$$A(n)$$と$$B(n)$$に対し$$\displaystyle \frac{A(n)e + B(n)}{n!}$$の形となることが示せる。

例えば$$\displaystyle a(10) = \frac{328161643e - 652694486}{10!}$$である.

$$A(10^9)+B(10^9)$$を求め、答えを$$77\,777\,777$$で割った余りを答えよ。
