# 359 : ヒルベルトの新しいホテル

ヒルベルトの最新の無限ホテルに, 無限数の客(1,2,3,...と番号付けされている)が客室を取ろうと列をなしている.\
そのホテルは無限数のフロア(1,2,3,...と番号付けされている)を有し, またそれぞれのフロアは無限の客室(1,2,3,...と番号付けされている)を持つ.

当初, ホテルはすべて空室である. ヒルベルトは客 n への客室の割り当て方を次のように発表する :

n 番目の客は, 以下の条件のどちらかをみたす一番最小の数のフロアについて, 最初の(訳注:その時点で最小の数となる)空いている客室を取る.

* そのフロアに客が誰もいないとき
* そのフロアに先客がおり、直前にそのフロアの客室を取った客が m で, m + n が完全平方数のとき

客 1 は, フロア 1 が空きなので, フロア 1 の客室 1 を取る.\
客 2 は, 1 + 2 = 3 が完全平方数でないので, フロア 1 の客室 2 は取れない.\
代わりに客 2 は, フロア2が空きなので, フロア 2 の客室 1 を取る.\
客 3 は, 1 + 3 = 4 が完全平方数なので, フロア 1 の客室 2 を取る.

最終的には, 列にいたすべての客がホテルの客室を取ることができる.

関数$$P(f,r)$$を、フロア$$f$$の客室$$r$$に客$$n$$が泊まっている場合は$$n$$、誰もその客室に泊まっていないときは 0 を返すと定義しよう。以下に例を示す :\
P(1, 1) = 1\
P(1, 2) = 3\
P(2, 1) = 2\
P(10, 20) = 440\
P(25, 75) = 4863\
P(99, 100) = 19454

$$f × r = 71328803586048$$となるようなすべての正の$$f$$と$$r$$に対し, すべての$$P(f, r)$$の合計を求め, その最後の8桁を答えよ.
