# 385 : 三角形内の楕円

平面上のいかなる三角形Tにおいても、Tの内部にぴったりと収まる, 最大の面積となる唯一の楕円の存在を示すことができる。

![p385\_ellipsetriangle.png](https://projecteuler.net/project/images/p385_ellipsetriangle.png)

与えられたnに対し、以下の条件を満たす三角形Tを考えよう：

* Tの頂点がnの絶対値以下の整数座標を持つ
* T内の最大面積となる楕円の**焦点**が$$(\sqrt{13},0)$$と$$(-\sqrt{13},0)$$になる

このような三角形全ての面積の総和を$$A(n)$$としよう。

例えば$$n = 8$$のとき、そのような三角形が二つ存在する。それらの頂点は$$(-4,-3),(-4,3),(8,0)$$と$$(4,3),(4,-3),(-8,0)$$であり、三角形の面積はどちらも36になる。したがって$$A(8) = 36 + 36 = 72$$となる。

$$A(10) = 252, A(100) = 34632, A(1000) = 3529008$$であることが確認できる。

$$A(1\,000\,000\,000)$$を求めよ。

注：楕円の**焦点**とは、楕円の境界上の点Pに対しAP + BPが一定の長さとなる二点AとBのことである。
