# 751 : 連結して一致

非減少整数列 $$a_n$$ は、以下の手順で任意の正の実数値 $$\theta$$ から生成できる：

$$
\begin{array}{l} \begin{split} b_1 &= \theta \\ b_n &= \lfloor b_{n-1} \rfloor \left(b_{n-1} - \lfloor b_{n-1} \rfloor + 1\right)~~~\forall ~ n \geq 2 \\ a_n &= \lfloor b_{n} \rfloor \end{split} \end{array}
$$

ここで $$\lfloor \cdot \rfloor$$ は床関数である。

例えば、$$\theta=2.956938891377988 \dots$$ はフィボナッチ数列 $$2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \dots$$ を生成する。

正整数列 $$a_n$$ の**連結**を、 $$a_1$$ から始まり、小数点以下に数列の要素を連結して作られる実数値 $$a_1.a_2a_3a_4 \dots$$ とし、これを $$\tau$$ で表す。

例えば、$$\theta=2.956938891377988 \dots$$ から作られるフィボナッチ数列は連結 $$\tau=2.3581321345589 \dots$$ を作る。 明らかに、この値 $$\theta$$ に関して $$\tau \neq \theta$$ である。

生成される数列は $$a_1 = 2$$ で始まり、生成される数列の連結が元の値と等しい $$\tau = \theta$$ ような、唯一の値 $$\theta$$ を求めよ。 答えは小数点以下24桁になるように四捨五入して答えよ。
