057 : 平方根の近似分数

2の平方根は無限に続く連分数で表すことができる.

$\displaystyle \sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}} = 1.414213\dots$

最初の4回の繰り返しを展開すると以下が得られる.

$1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$ $1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}} = \frac{7}{5} = 1.4$ $1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = \frac{17}{12} = 1.41666\dots$ $1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}} = \frac{41}{29} = 1.41379\dots$

次の3つの項は$99/70, 239/169, 577/408$である. 第8項は$1393/985$である. これは分子の桁数が分母の桁数を超える最初の例である.

最初の1000項を考えたとき, 分子の桁数が分母の桁数を超える項はいくつあるか?