1のみからなる数をレプユニット(repunit)という。$R(k)$を長さ$k$のレプユニットとする。 例えば$R(6) = 111111$となる。

$R(10^n)$というレプユニットについて考える.

$R(10), R(100), R(1000)$は 17 では割り切れないが, $R(10000)$は 17 で割り切られる. さらに,$R(10^n)$が 19 で割り切られるような$n$は存在しない. 驚くべきことに, $R(10^n)$の因数となりうる100未満の素数は 11, 17, 41, 73 の4個のみである.

$R(10^n)$の因数となりえない100000未満の素数の和を求めよ.

$x, y, z$を等差数列となるような正の整数とする. 正の整数$n$が$n = 20$と与えられたときに, 方程式$x^2 - y^2 - z^2 = n$は唯一つの解を持つ.

$13^2 - 10^2 - 7^2 = 20$

実のところ100未満の$n$について方程式が唯一つの解を持つような$n$は25個存在する.

5000万未満の$n$について方程式が唯一つの解を持つような$n$は何個存在するか?

連続する素数$p_1 = 19, p_2 = 23$について考える. $1219$は末尾の桁が$p_1$からなり$p_2$で割り切れる最小の数であることが確かめられる.

実際,$p_1 = 3, p_2 = 5$を除けば, 全ての$p_2 > p_1$なる連続する素数のペアについて, 末尾の桁が $p_1$からなり$p_2$で割り切れる数$n$が存在する.$S$を$n$の最小のものであるとする.

$5 ≤ p_1 ≤ 1000000$を満たす連続する素数のペア全てに対し$\sum S$を求めよ.

いくつかの素数$p$では, ある正の整数$n$が存在して, $n^3+pn^2$が立方数になる.

例えば, $p = 19$のときには, $8^3+19×8^2=12^3$である.

このような性質を持つ各素数について, $n$の値は一意に定まる. また, 100未満の素数では4つしかこの性質を満たさない.

この性質を持つ100万未満の素数は何個あるだろうか?

1のみからなる数をレプユニットという. $R(k)$を長さ$k$のレプユニットとする.

例えば,$R(10) = 1111111111 = 11×41×271×9091$となり, 素因数の和は9414となる.

$R(10^9)$の最初の40個の素因数の和を求めよ.

正の整数$x, y, z$が等差数列として与えられたとき,$x^2 - y^2 - z^2 = n$がちょうど2個の解を持つような最小の正の整数$n$は$n = 27$である.

$34^2 − 27^2 − 20^2 = 12^2 − 9^2 − 6^2 = 27$

$n = 1155$は, 方程式がちょうど10個の解を持つ最小の値である.

ちょうど10個の解を持つような$n$は, 100万未満にいくつ存在するか?

フィボナッチ数列$F_k = 1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$すなわち$F_k = F_{k-1} + F_{k-2}, F_1 = 1, F_2 = 1$によって与えられる無限級数$A_F(x) = xF_1 + x^2F_2 + x^3F_3 + \dots$を考える.

この問題では, $A_F(x)$が正の整数となるような$x$の値について考える. 驚くべきことに, $A_F(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})\times 1 + (\frac{1}{2})^2\times 1 + (\frac{1}{2})^3\times 2 + (\frac{1}{2})^4\times 3 + (\frac{1}{2})^5\times 5 + \dots = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{5}{32} + \dots = 2$である.

最初の5つの自然数に対する x の値を下表に示す.

xが有理数のときのの値を, 非常に稀なので, "金塊" (golden nugget) と呼ぶ. 実際, 10番目の"金塊"は74049690である.

15番目の"金塊"を求めよ.

底の長さが, 脚の長さが17の二等辺三角形を考える.

ピタゴラスの定理より, 三角形の高さとなる. 高さは底の長さより1だけ短い.

とすると, となり, これは底の長さより1だけ長い. この三角形はという性質を持つ二等辺三角形の中で二番目に小さい.

が全て正の整数であるとし, そのような二等辺三角形の中で小さい順に12個取ったときのを求めよ.

で各辺の長さが整数の直角三角形の三辺を表す. 一辺の長さがの正方形中に先ほどの三角形を4つ配置することが可能である.

例えば-三角形はの正方形に4つ配置される. このとき, 中央部にの穴が空いている. また, の正方形は25個のの正方形で敷き詰めることができる.

しかし, -三角形を使った場合は穴のサイズがになり, の正方形ではの正方形を敷き詰めることができない.

では, 未満の周囲長を持つ直角三角形を考え, 上のような敷き詰め方を許す直角三角形の数を答えよ.

3項間漸化式$G_k = G_{k-1} + G_{k-2}, G_1 = 1, G_2 = 4$ ($G_k = 1, 4, 5, 9, 14, 23, \dots$) によって与えられる無限級数$A_G(x) = xG_1 + x^2G_2 + x^3G_3 + \dots$を考える.

この問題では,$A_G(x)$が正の整数となるような$x$の値について考える.

最初の5つの自然数に対する$x$の値を下表に示す.

x が有理数となるときの AG(x) の値を"金塊" (golden nugget) と呼ぶことにする. "金塊"は次第に稀になっていき, 20番目の"金塊"は 211345365 となる.

最初の30個の"金塊"の和を求めよ.