正の整数$n$について,$f(n)$を各桁の数字(10進数)の平方の和と定義する. 例えば,

$f(3) = 3^2 = 9$, $f(25) = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$, $f(442) = 4^2 + 4^2 + 2^2 = 16 + 16 + 4 = 36$

$0 < n < 10^{20}$について, $f(n)$が平方数となるような$n$の和の末尾9桁を求めよ.

辺の長さが(9,12,15), (12,16,20), (5,12,13), (12,35,37)の4つの直角三角形は, 全て隣辺(catheti [単数形 cathetus], 最長ではない辺, 直角に隣接する2つの辺のこと)として12を持っている. 他に隣辺が12であるような辺の長さが整数の直角三角形は存在しないことが示せる.

ちょうど47547個の相異なった整数辺の直角三角形の隣辺となる最小の整数を求めよ.

どの数字も3回を超えて現れないような18桁の数(先頭の0は許されない)はいくつあるか?

あるnについて, 以下の三つの関数を定義する.

$f_{1,n}(x,y,z) = x^{n+1} + y^{n+1} - z^{n+1}$ $f_{2,n}(x,y,z) = (xy + yz + zx) \times (x^{n-1} + y^{n-1} - z^{n-1})$ $f_{3,n}(x,y,z) = xyz(x^{n-2} + y^{n-2} - z^{n-2})$

そしてそれらの組み合わせで以下を定義する.

$f_n(x,y,z) = f_{1,n}(x,y,z) + f_{2,n}(x,y,z) - f_{3,n}(x,y,z)$

$x,y,z$の全てが$a / b \; (0 < a < b ≤ k)$という形の有理数であり, かつ$f_n(x,y,z) = 0$となる整数$n$が（少なくとも一つ）存在するとき,$(x,y,z)$の組を"オーダー$k$の黄金の三つ組"と呼ぶことにする.

$s(x,y,z) = x + y + z$として, オーダー35の黄金の三つ組$(x,y,z)$について, 全ての相異なる$s(x,y,z)$の和を$t = u / v$とする. ただし,$s(x,y,z)$および$t$は既約であるとする.

$u + v$を求めよ.

輪郭が正方形で, 正方形の穴を持ち, 縦にも横にも対称性をもつようなものをlaminaと定義する.

8個のタイルが与えられると, 1x1の穴をもつ3x3のlaminaしか作れないが, 32個のタイルならば2つの異なったlaminaeが作れる.

$t$で何個のタイルを使うかを表すとすると,$t = 8$は$L(1)$型,$t = 32$なら$L(2)$型であるといえる.

$N(n)$を、$L(n)$型となるような$t (≤ 1000000)$の数であるとする. 例えば$N(15) = 832$となる.

$\sum N(n) \; (1 ≤ n ≤ 10)$を求めよ.

ABCDを, ACとBDを対角線とする凸な四角形とする. 各頂点で対角線は2つの角をつくり, 合計で8つの角をつくる.

例えば, 頂点AではCADとCABが2つの角である.

全ての8つの角が度数法で整数となる角度を持つ四角形を, "整数角の四角形"と定義する. 例えば, 正方形は8つの角が45°となる. 他の例では, DAC = 20°, BAC = 60°, ABD = 50°, CBD = 30°, BCA = 40°, DCA = 30°, CDB = 80°, ADB = 50°となる四角形がある.

相似でない整数角の四角形はいくつ存在するか?

注: 計算時に, 角度が整数値から以内ならば, その角を整数角とみなしてもよい.

45656を考えよう. 連続する2桁の数は全て差の絶対値が 1 である.

連続する2桁の数の差の絶対値が全て 1 である数をステップ数と呼ぶ.

パンデジタル数では0から9の各数が少なくとも 1 回出現する.

未満の数でパンデジタル数かつステップ数であるものの個数を答えよ.

との正の約数の数が同じになるの整数は幾つあるか. 例として, 14 の正の約数は 1, 2, 7, 14 であり, 15 の正の約数は 1, 3, 5, 15 である.

輪郭が正方形で, 正方形の穴を持ち, 縦にも横にも対称性をもつようなものをlaminaeと定義する. 例えば, 32個のタイルを使うと以下の二つの異なったlaminaeが作れる.

100個以下のタイルを使うと, 41種類のlaminaeが作れる.

100万個以下のタイルを使うと何種類のlaminaeが作れるか?

とし,をを2のべき乗の和（ただし同じ数を2回より多く使ってはいけない）として書き表す方法の数と定義する。

例えば, 10には異なった5通りの方法があるので,である. 10 = 8+2 = 8+1+1 = 4+4+2 = 4+2+2+1+1 = 4+4+1+1

全ての分数について,となるようなが少なくとも一つ存在することが示せる.

例えば, となるような最小のは241であり, 241の二進表現は11110001である. この二進数を上の位から下の位に読んでいくと, 4つの1, 3つの0, 1つの1となる. 4,3,1を241の"短縮された二進表現"と呼ぶ.

となるような最小のの"短縮された二進表現"を求めよ.

スペースを含まないカンマで区切られた整数で答えよ.