Number Mind は, 有名なゲームMaster Mindの変種である.

色つきのペグの代わりに, 秘密の数字を推理する. 推理するごとに, 正しい桁がいくつあったかのみが伝えられる. つまり, 答えが1234で, 2036と推理した場合, 1つの桁が正しいと伝えられる. 数字は正しいが場所が違うということは伝えられない.

例えば, 以下の5桁の推理では,

90342 ;2 桁正しい 70794 ;0 桁正しい 39458 ;2 桁正しい 34109 ;1 桁正しい 51545 ;2 桁正しい 12531 ;1 桁正しい

答えの数字は39542の唯一つとなる.

以下の推理に基づいて,

5616185650518293 ;2 桁正しい 3847439647293047 ;1 桁正しい 5855462940810587 ;3 桁正しい 9742855507068353 ;3 桁正しい 4296849643607543 ;3 桁正しい 3174248439465858 ;1 桁正しい 4513559094146117 ;2 桁正しい 7890971548908067 ;3 桁正しい 8157356344118483 ;1 桁正しい 2615250744386899 ;2 桁正しい 8690095851526254 ;3 桁正しい 6375711915077050 ;1 桁正しい 6913859173121360 ;1 桁正しい 6442889055042768 ;2 桁正しい 2321386104303845 ;0 桁正しい 2326509471271448 ;2 桁正しい 5251583379644322 ;2 桁正しい 1748270476758276 ;3 桁正しい 4895722652190306 ;1 桁正しい 3041631117224635 ;3 桁正しい 1841236454324589 ;3 桁正しい 2659862637316867 ;2 桁正しい

16桁の唯一つの答えの数字を答えよ.

RSA暗号は以下のアルゴリズムに基づいている:

• 鍵生成

  1. 二つの異なる素数$p$と$q$を生成する.

  2. $n=pq$とし,$φ=(p-1)(q-1)$とする.

  3. の範囲でとなる整数を決定する.

• 暗号化

  1. 平文を中の整数とする. 平文は以下の方法で中の整数に暗号化される.

  2. とし,を暗号文とする.

• 復号

  1. 暗号文をとし以下の操作を行う.

  2. となるを計算する.が元の平文となる.

さてあるとについてとなることがある. 以下,となるを公然の平文と呼ぶことにする.

公開鍵の一部を選ぶときには, 公然の平文が多くならないという点が重要である. 例えばとする. このときでありである. もしとすると,であるが, 全ての平文が公然の平文となってしまう. についてどのような選び方をしても, 必ずいくつかは公然の平文が存在する. 従って, 公然の平文の数を最小化するようにを選ぶのは重要である.

さて,とする. このとき, 公然の平文の個数が最小となる全てのの総和を求めよ (ただしかつ).

原点を中心とした半径$r$の円の内部に含まれる点$(x,y)$, すなわち$x^2 + y^2 < r^2$, の座標が整数となる集合$I_r$を考える.

半径2の場合,$I_2$は$(0,0), (1,0), (1,1), (0,1), (-1,1), (-1,0), (-1,-1), (0,-1), (1,-1)$ の9点を要素に持つ.$I_2$を頂点とし, 原点を内部に含むような三角形は8個存在する. そのうち2つを下図に示す. 残りは回転で得られる.

半径3の場合は,$I_3$を頂点とし, 原点を内部に含むような三角形は360個存在し,$I_5$では10600個存在する.

$I_{105}$を頂点とし, 原点を内部に含むような三角形はいく

つ存在するか?

合成数とは2つ以上の素因数を含む整数のことである. 例えばが合成数である.

30以下には丁度2つの素因数を含む合成数 (異なる素因数でなくてもよい) が, 10個存在する. 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26がそうである.

合成数について, 丁度2つの素因数を含む合成数 (異なる素因数でなくてもよい) はいくつあるか.

をかつ,を最大にする項の正の実数の組とする.

例えばであることが分かる (ただしは実数の整数部分を取り出す関数).

についてを求めよ.

100万人のユーザをもつ電話システムの通信記録がある。

3つの黒い物 B と1つの白い物 W を持っているとき, これらは7通りにグループ分け出来る.

60個の黒い物 B と40個の白い物 W は何通りにグループ分け出来るか?

以下の64個の三角形の配置を考えよう.

今, 隣り合う三角形が同じ色にならないように, 各三角形の内部を赤, 緑, 青で塗り分ける. このような色の塗り分け方を「有効」と呼ぶ. ただし三角形が隣り合っているの意味は, 辺を共有していることとする. (頂点を共有しているだけの場合には, 隣り合うとは呼ばない.)

上の三角形の配置については, 例えば以下の有効な塗り分け方がある.

塗り分けCから回転または反転によって得られた塗り分け方C'はCとC'が同じでない場合には, 異なるものとして数え上げる.

上の三角形の配置について, 異なる有効な塗り分け方は何通りか?

数$a$の正整数$b$による ハイパーべき乗 (hyperexponentiation) または テトレーション (tetration) を$a↑↑b$または$^ba$と書き, 以下のように再帰的に定義する.

• $a↑↑1 = a$

• $a↑↑(k+1) = a^{(a↑↑k)}$

定義によれば$3↑↑2 = 3^3 = 27$であり,$3↑↑3 = 3^{27} = 7625597484987$となる. また, $3↑↑4$は大体$10^{3.6383346400240996 \times 10^{12}}$となる.

の最後の8桁を求めよ.

$N$を正整数とし、$N$を$k$個に等分する、すなわち$r=N/k$とする。$N = r + r + \dots + r$である。$P$をその分割数の積とする、すなわち$P = r × r × \dots × r = r^k$とする。

例えば、11を5つに分割すると$11 = 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2 + 2.2$となる。このとき$P = 2.2^5 = 51.53632$である。

M(N)=P_\maxとする。

$N=11$の場合には4つに分けた場合がP_\max=(11/4)^4で最大となる。すなわち$M(11) = 14641/256 = 57.19140625$であり、有限小数である。

しかし、$N=8$の場合には最大値は3つに分けたときに得られ、$M(8)=512/27$となる。これは無限小数 (循環小数) である。

さて、$M(N)$が無限小数のとき$D(N)=N$、$M(N)$が有限小数のとき$D(N)=-N$とする。

についてとなる。

についてを求めよ。