305 : 再帰的位置

Sを、10進で表した(1から始まる)自然数を連続してつなげた(無限に続く)文字列とする. すなわち S = 1234567891011121314151617181920212223242... となる.

いかなる数もこの文字列の中に無限回現れることは容易にわかる.

$f(n)$を$n$がSの中で$n$回目に現れた先頭の位置とする. 例えば,$f(1)=1, f(5)=81, f(12)=271, f(7780)=111111365$となる.

$1 ≦ k ≦ 13$について$\sum f(3^k)$を求めよ.