241 : 完全商

正整数$n$に対し、$\sigma(n)$を$n$の約数全ての和とする。 例えば$\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12$となる。

おそらく知っているだろうが、完全数とは$\sigma(n) = 2n$となる数である。

正整数の完全商 (perfection quotient)を、$\displaystyle p(n) = \frac{σ(n)}{n}$と定義する。

$n ≤ 10^{18}$に対し、$p(n)$が$\displaystyle k + \frac{1}{2}$($k$は整数)となる正の整数全ての和を求めよ。