412 : グノモンの番号付け

整数$m, n \; (0 \leq n < m)$において、$m \times m$格子の右上から$n \times n$格子を取り除いたものを$L(m,n)$としよう。（訳注：このような図形のことをグノモン (gnomon) と呼ぶ。）

例えば$L(5, 3)$は以下のようになる：

$L(m, n)$のそれぞれのマスに連続する整数 1, 2, 3, ... を番号付けしたい。このとき全てのマスの数が下のマスと左のマスにある数より小さくなるようにしたい。

$L(5, 3)$に対する有効な番号付けを2例示す：

$L(m, n)$に対する有効な番号付けの個数を$LC(m, n)$としよう。 $LC(3, 0) = 42$, $LC(5, 3) = 250250$, $LC(6, 3) = 406029023400$, $LC(10, 5) \bmod 76543217 = 61251715$であることが確かめられている。

を求めよ。