650 : 二項係数の積の約数

$B(n) = \displaystyle \prod_{k=0}^n {n \choose k}$ とする。二項係数の積である。 例えば $B(5) = {5 \choose 0} \times {5 \choose 1} \times {5 \choose 2} \times {5 \choose 3} \times {5 \choose 4} \times {5 \choose 5} = 1 \times 5 \times 10 \times 10 \times 5 \times 1 = 2500$ である。

$D(n) = \displaystyle \sum_{d|B(n)} d$ とする。$B(n)$ の約数の和である。 例えば $B(5)$ の約数は 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, 500, 625, 1250, 2500 なので、 $D(5) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 25 + 50 + 100 + 125 + 250 + 500 + 625 + 1250 + 2500 = 5467$となる。

$S(n) = \displaystyle \sum_{k=1}^n D(k)$ とする。 $S(5) = 5736$, $S(10) = 141740594713218418$, $S(100) \bmod 1\,000\,000\,007 = 332792866$ が与えられている。

$S(20\,000) \bmod 1\,000\,000\,007$ を求めよ。