074 : 桁の階乗による連鎖

145は各桁の階乗の和が145と自分自身に一致することで有名である.

$1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145$

169の性質はあまり知られていない. これは169に戻る数の中で最長の列を成す. このように他の数を経て自分自身に戻るループは3つしか存在しない.

$169 → 363601 → 1454 → 169$ $871 → 45361 → 871$ $872 → 45362 → 872$

どのような数からスタートしてもループに入ることが示せる.

例を見てみよう.

$69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601 (→ 1454)$ $78 → 45360 → 871 → 45361 (→ 871)$ $540 → 145 (→ 145)$

69から始めた場合, 列は5つの循環しない項を持つ. また100万未満の数から始めた場合最長の循環しない項は60個であることが知られている.

100万未満の数から開始する列の中で, 60個の循環しない項を持つものはいくつあるか?