088 : 積和数

少なくとも2つの自然数からなる多重集合$\{a_1, a_2, \dots , a_k\}$の和としても積としても表せる自然数$N$を積和数と呼ぶ：$N = a_1 + a_2 + \dots + a_k = a_1 × a_2 × \dots × a_k$

（訳注：原文にはsetとあるが、下の例では1,1,2,4などと要素が重複することを許しているのでこれは集合ではない。）

例えば $6 = 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3$である。

ある多重集合の大きさ$k$に対して、この性質を持つ最小の$N$を最小積和数と呼ぼう。 多重集合の大きさ$k = 2, 3, 4, 5, 6$に対する最小積和数は次のとおりである。

• $k=2: 4 = 2 × 2 = 2 + 2$

• $k=3: 6 = 1 × 2 × 3 = 1 + 2 + 3$

• $k=4: 8 = 1 × 1 × 2 × 4 = 1 + 1 + 2 + 4$

• $k=5: 8 = 1 × 1 × 2 × 2 × 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2$

• $k=6: 12 = 1 × 1 × 1 × 1 × 2 × 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 6$

したがって、$2 ≤ k ≤ 6$に対して,全ての最小積和数の和は$4+6+8+12 = 30$である。 8 は和に一度だけカウントされていることに気をつけよう。

実際、$2 ≤ k ≤ 12$に対する最小積和数の完全な集合は$\{4, 6, 8, 12, 15, 16\}$なので、その和は61である。

$2 ≤ k ≤ 12000$に対する全ての最小積和数の和は何か？