点$P(x_1, y_1)$と点$Q(x_2, y_2)$はともに整数係数の点であり, 原点O(0,0)と合わせて$\triangle OPQ$をなす.

各係数が0と2の間にあるとき, すなわち$0 ≤ x1, y1, x2, y2 ≤ 2$のとき, 直角三角形は14個できる:

では,$0 ≤ x1, y1, x2, y2 ≤ 50$のとき, 直角三角形は何個作れるか?

各桁の2乗を足し合わせて新たな数を作ることを, 同じ数が現れるまで繰り返す.

例えば

44 → 32 → 13 → 10 → 1 → 1 85 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → 16 → 37 → 58 → 89

のような列である. どちらも1か89で無限ループに陥っている. 驚くことに, どの数から始めても最終的に1か89に到達する.

では, 10,000,000より小さい数で89に到達する数はいくつあるか.

ある数の真の約数とは, それ自身を除く約数すべてである. 例えば, 28 の真の約数は 1, 2, 4, 7, 14 である. これらの約数の和は 28 に等しいため, これを完全数と呼ぶ.

面白いことに, 220 の真の約数の和は 284 で, 284 の真の約数の和は 220 となっており, 二つの数が鎖をなしている. このため, 220 と 284 は友愛数と呼ばれる.

さらに長い鎖はあまり知られていないだろう. 例えば, 12496 から始めると, 5 つの数の鎖をなす.

12496 → 14288 → 15472 → 14536 → 14264 (→ 12496 → ...)

この鎖は出発点に戻っているため, 友愛鎖と呼ばれる.

いずれの要素も 1,000,000 を超えない最長の友愛鎖の最小のメンバーを求めよ.

一辺の長さが整数の正三角形は面積が整数にならないことを示すのは簡単である. しかし, 5-5-6の辺を持つ殆ど正三角形に近い擬正三角形 (almost equilateral triangle) は面積が12で整数である.

以降, 二等辺三角形で, 3つめの辺の長さが他と1つしか違わないもの (5-5-6, 5-5-4等) を, 擬正三角形と呼ぶ.

さて, 周囲の長さが1,000,000,000以下の面積が整数になる擬正三角形を考え, その周囲の長さの総和を求めよ.

数独（あるいはナンバープレース、ナンプレ）とは人気があるパズルの名前である。起源は不明だが、その評判はラテン方格 (Latin Squares) と呼ばれる同様な、そしてはるかに難しいパズルを考案したレオンハルト・オイラーの貢献によるものに違いない。しかしながら、数独パズルの目的は、9×9の格子に対して、それぞれの行、それぞれの列、それぞれの3×3の枠が1から9の数字を含むように空白（もしくは0）を埋めることである。下に、一般的なパズルの開始状態とその解答の例を示す。

うまく作られている数独パズルは、ただ一つの解を持ち、推論によって解くことができる。ただし、選択肢を消去するために「仮定とテスト」方式を用いる必要があるかもしれない（これについては様々な意見がある）。

探索の複雑さがパズルの難易度を決定する。上に挙げた例は、単純で直接的な推論によって解く事ができるため、簡単であると考えられる。

6kバイトのテキストファイル sudoku.txt（右クリックで "名前をつけてリンク先を保存"）には、ただ一つの解を持つ、様々な難易度の50の数独パズルが含まれている。（上の例題はこのファイルにおける最初のパズルである。）

50すべてのパズルを解き、それぞれの解答の左上隅にある3桁の数の合計を求めよ。例えば上の解答例の左上隅の3桁の数は483である。

CARE という単語の各文字をそれぞれ 1, 2, 9, 6 に置き換えることによって、平方数$1296 = 36^2$ができる。注目すべきことに、同じ数字の置換をつかうことにより、アナグラムの RACE も平方数 $9216 = 96^2$をつくる。CARE (と RACE) を平方アナグラム単語対と呼ぼう。先頭のゼロは許されず、異なる文字が同じ数字をもつこともないとする。

約 2,000 個の一般的な英単語を含む 16K のテキストファイルwords.txt （右クリックして "名前をつけてリンク先を保存"）を用いて、平方アナグラム単語対をすべて求めよ。（回文となる単語はそれ自身のアナグラムとはみなさない）

そのような対の要素である最大の平方数は何か？

注：作られるアナグラムは、すべて与えられたテキストファイルに含まれているものであること。

100万桁を超える初めての素数は1999年に発見された. これはメルセンヌ素数であり, $2^{6972593}-1$である. 実際, 2,098,960桁ある. それ以降も, より多くの桁になるメルセンヌ素数 ($2^p-1$の形の数) が他にも発見されている.

しかし, 2004年に, 非常に大きな非メルセンヌ素数が発見された. これは2,357,207桁の数であり, $28433×2^{7830457}+1$である.

この素数の末尾10桁を答えよ.

箱の中に15個の青い円盤と6個の赤い円盤からなる21個の色のついた円盤が入っていて、無作為に2つ取り出すとき、青い円盤2つを取り出す確率$P(BB)$は

$\displaystyle P(BB) = \frac{15}{21} × \frac{14}{20} = \frac{1}{2}$

であることがわかる。

無作為に2つ取り出すとき、青い円盤2つを取り出す確率がちょうど1/2となるような次の組み合わせは、箱が85個の青い円盤と35個の赤い円盤からなるときである。

箱の中の円盤の合計が$10^{12} = 1,000,000,000,000$を超えるような最初の組み合わせを考える。箱の中の青い円盤の数を求めよ。

指数の形で表される2つの数, 例えばと, の大小を調べることは難しくはない. 電卓を使えば,であることが確かめられる.

しかし,を確認することは非常に難しい (両者ともに300万桁以上になる).

各行に1組が書かれている1000個の組を含んだ22Kのテキストファイルから, 最大の数が書かれている行の番号を求めよ.

注: ファイル中の最初の二行は上の例である.

集合$\{1, 2, 3, 4\}$の各数字をちょうど一度用い, また四則演算$(+, -, \times, \div)$と括弧を使うことにより, 異なる正の整数を作ることができる.

例えば,

$8 = (4 \times (1 + 3)) \div 2$ $14 = 4 \times (3 + 1 \div 2)$ $19 = 4 \times (2 + 3) － 1$ $36 = 3 \times 4 \times (2 + 1)$

$12 + 34$ のように数字をつなげることは許されないことに注意しよう.

集合$\{1, 2, 3, 4\}$を使うと, 36 を最大とする 31 個の異なる数が得られる. 最初の表現できない数に会うまで, 1 から 28 の各数を得ることができる.

最長の連続した正の整数$1$から$n$の集合を得ることができる, 4つの異なる数字$a < b < c < d$を見つけよ. 答えを文字列$abcd$として与えよ.