長さ 7 ユニットからなる 1 列上に, 最低 3 ユニットの長さを持つ赤ブロックが置かれている. ただしどの赤ブロック同士も, 少なくとも 1 ユニットの黒い正方形が間にある(赤ブロックは長さが異なってもよい). これを敷き詰める方法は, ちょうど 17 通りある.

50 ユニットの長さの 1 列を敷き詰める方法は何通りあるか.

注意: 上の例では起こりえないが, 通常はブロックの大きさが複数混ざっていてもよい. 例えば, 8 ユニットの長さの 1 列では, 赤(3), 黒(1), 赤(4) を使うことができる.

重複した桁を含む 4 桁の素数を考える. 全てが同じにならないのは明らかである: 1111 は 11 で割り切れ, 2222 は 22 で割り切れ, 以下同様だからである. しかし 3 個の 1 を含む 4 桁の素数は 9 つある:1117, 1151, 1171, 1181, 1511, 1811, 2111, 4111, 8111

$n$桁の素数に対する重複した桁の最大個数を$M(n, d)$と表すことにしよう. ここで$d$は重複した桁の数字とする. またそのような素数の個数を$N(n, d)$と表し, これらの素数の和を$S(n, d)$と表す.

よって M(4, 1) = 3 は, 重複した桁を 1 としたときの, 4 桁の素数に対する重複した桁の最大個数である. そのような素数は N(4, 1) = 9 個あり, これらの素数の和は S(4, 1) = 22275 である. d = 0 に対しては, 重複した桁は M(4, 0) = 2 個だけ可能であることが分かるが, そのような場合は N(4, 0) = 13 個ある.

同じようにして 4 桁の素数に対して次の結果を得る.

d = 0 から 9 に対して,$S(4, d)$の総和は 273700 である.

$S(10, d)$の総和を求めよ.

ある数の桁を左から右へと順に見たとき, 任意の桁の数が自身の左にある桁の数以上であるとき, その数を増加数 (increasing number) と呼ぶ; 例えば134468は増加数である.

同様に, 任意の桁の数が自身の右にある桁の数以上であるとき, その数を減少数 (decreasing number) と呼ぶ; 例えば66420がそうである.

増加数でも減少数でもない数を "はずみ"数 ("bouncy" number) と呼ぶ; 155349がそうである.

nが大きくなるにつれ, n以下のはずみ数の割合は大きくなる. 例えば, 100万未満では, はずみ数でない数は12951個しかない. 同様に, 未満では277032個しかない.

googol数 () 未満ではずみ数でないものの個数を答えよ.

1 から 9 の全ての数字を使い, 自由につなげることで 10 進数の数字を作り, 複数の集合を作ることができる. 集合$\{2,5,47,89,631\}$は面白いことに全ての要素が素数である.

1 から 9 の数字をちょうど 1 個ずつ含み, 素数の要素しか含まない集合はいくつあるか?

512 という数は興味深い数である. というのも, 各桁の和を何乗かしたものに等しくなっているからである: $5 + 1 + 2 = 8, 8^3 = 512$である. この特性を持つ他の数は例えば$614656 = 28^4$である.

この数列の第$n$項を$a_n$と定義し, また 2 桁以上であるとしよう.

$a_2 = 512, a_{10} = 614656$となる.

$a_{30}$を求めよ.

黒い正方形のタイルと, 2 ユニットの長さの赤のタイル, 3 ユニットの長さの緑のタイル, 4 ユニットの長さの青のタイルから選んで組み合わせて, 5 ユニットの長さの 1 列をタイルで敷く方法はちょうど 15 通りある.

長さ 50 ユニットの 1 列をタイルで敷く方法は何通りあるか.

注: この問題は問題116に関連する

$(a-1)^n+(a+1)^n$を$a^2$で割った余りを$r$と定義する.

例えば,$a=7, n=3$のとき$r=42$である:$63 + 83 = 728 ≡ 42 \mod 49$. $n$が変われば$r$も変わるが,$a=7$のとき$r$の最大値r_\maxは$42$であることがわかる.

$3 ≤ a ≤ 1000$において,\sum r_\maxを求めよ.

5 個の黒い正方形のタイルの列を, 赤(長さ 2), 緑(長さ 3), 青(長さ 4)から選んで, この色のついた長方形のタイルでいくつか置き換える.

もし赤のタイルを選んだ場合は, ちょうど 7 通りの方法がある.

もし緑のタイルを選んだ場合は, 3 通りである.

もし青のタイルを選んだ場合は, 2 通りである.

複数の色を混ぜられない場合は, 5 ユニットの長さの 1 列に並んだ黒いタイルを置き換える方法は 7 + 3 + 2 = 12 通りある.

50 ユニットの長さの 1 列に並んだ黒いタイルを置き換える方法は何通りあるか. ただし複数の色を混ぜることはできず, 少なくとも 1 個は色のついたタイルを使うこと.

注: この問題は問題117に関連する

左から右までどの桁もその左の桁を下回らない数を増加数と呼ぶ. 例えば, 134468.

同様に, どの桁もその右の桁を下回らない数を減少数と呼ぶ. 例えば, 66420.

増加数でも減少数でもない正の整数をはずみ数と呼ぶことにする. 例えば, 155349.

100以下にはずみ数が無いのは明らかだが, 1000未満では半数を少し上回る525個がはずみ数である.

実際, はずみ数の割合が50%に達する最少の数は538である.

驚くべきことに, はずみ数はますます一般的になり, 21780でははずみ数の割合は90%に達する.

はずみ数の割合がちょうど99%になる最小の数を求めよ.

（原文からして、「xx以下の数がbouncyである割合」という言い方をしていない。）

注意: これは問題114をより難しくした問題である.

長さ$n$ユニットからなる 1 列上に, 最低$m$ユニットの長さを持つ赤ブロックが置かれている. ただしどの赤ブロック同士も, 少なくとも 1 ユニットの黒い正方形が間にある(赤ブロックは長さが異なってもよい).

敷き詰め計数関数$F(m, n)$は 1 列に敷き詰める方法が何通りかを表すとする.

例えば,$F(3, 29) = 673135$であり,$F(3, 30) = 1089155$である.

$m = 3$の時,$n = 30$がこの敷き詰め計数関数が初めて 1,000,000 を超える最小の値であることがわかる.

同様に,$m = 10$では$F(10, 56) = 880711, F(10, 57) = 1148904$であることがわかり, つまり$n = 57$がこの敷き詰め計数関数が初めて 1,000,000 を超える最小の値であることがわかる.

$m = 50$のとき, この敷き詰め計数関数が初めて 1,000,000 を超える最小の$n$の値を求めよ.