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140 : 変形フィボナッチ金塊

3項間漸化式 $G_k = G_{k-1} + G_{k-2}, G_1 = 1, G_2 = 4$ ( $G_k = 1, 4, 5, 9, 14, 23, \dots$ ) によって与えられる無限級数 $A_G(x) = xG_1 + x^2G_2 + x^3G_3 + \dots$ を考える.

この問題では, $A_G(x)$ が正の整数となるような $x$ の値について考える.

最初の5つの自然数に対する $x$ の値を下表に示す.

********

x が有理数となるときの AG(x) の値を"金塊" (golden nugget) と呼ぶことにする. "金塊"は次第に稀になっていき, 20番目の"金塊"は 211345365 となる.

最初の30個の"金塊"の和を求めよ.

140 : 変形フィボナッチ金塊

3項間漸化式 $G_k = G_{k-1} + G_{k-2}, G_1 = 1, G_2 = 4$ ( $G_k = 1, 4, 5, 9, 14, 23, \dots$ ) によって与えられる無限級数 $A_G(x) = xG_1 + x^2G_2 + x^3G_3 + \dots$ を考える.

この問題では, $A_G(x)$ が正の整数となるような $x$ の値について考える.

最初の5つの自然数に対する $x$ の値を下表に示す.

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x が有理数となるときの AG(x) の値を"金塊" (golden nugget) と呼ぶことにする. "金塊"は次第に稀になっていき, 20番目の"金塊"は 211345365 となる.

最初の30個の"金塊"の和を求めよ.