$x + y, x - y, x + z, x - z, y + z, y - z$が全て平方数となる整数の組$x > y > z > 0$で, 最小の$x + y + z$を求めよ.

ABCを全ての内角が120度未満の三角形とする. Xを三角形の内点とし, XA = p, XB = q, XC = rとする.

フェルマーは「p+q+rを最小にするXを探す方法はあるか?」とトリチェリに問題を出した.

正三角形 AOB, BNC, AMC がABCの各辺に構成できるならば, AOB, BNC, AMCに外接する3つの円が三角形の内部の1点 T で交わることをトリチェリは示した. さらに, トリチェリ-フェルマー点と呼ばれる T が, p + q + r を最小化することも示した. 更には, 和が最小となるときには, AN = BM = CO = p + q + r であり, AN, BM, COもまた T と交わることも示せる.

和が最小化されているとして, a, b, c, p, q, r が全て正の整数であるとき, 三角形 ABC をトリチェリ三角形と呼ぶ. 例えば, a = 399, b = 455, c = 511 は p + q + r = 784 のトリチェリ三角形である.

トリチェリ三角形について 異なる値をとる p + q + r ≤ 120000 の総和を求めよ.

正の整数$n$を$d$で割った商と余りをそれぞれ$q$と$r$で表す. $d, q, r$を適当に並び替えたときに正の項からなる等比数列（幾何数列）になる場合がある.

例えば58を6で割ると商が9で余りが4である. 4, 6, 9は公比3/2の幾何数列になっている. 以下, このような $n$を累進数と呼ぶ. (訳者注: progressive numberの定訳が分からないので適当な名前にしておく.)

いくつかの累進数$9$や$10404=102^2$は平方数になっている. 100000未満の累進平方数の和は124657である.

$10^{12}$未満の累進平方数の総和を答えよ.

正の整数$n$について、その逆順との和$n + \textrm{reverse}(n)$が奇数の数字のみで表されるようなものが存在する。例えば$36 + 63 = 99, 409 + 904 = 1313$がそうである。この性質を持つ数をreversibleと呼ぶことにする。つまり36, 63, 409, 904はreversibleである。$n$と$\textrm{reverse}(n)$のいずれにも先頭に0が来ることは許されない。

1000未満には120個のreversibleな数が存在する。

10億($10^9$)未満にはreversibleな数はいくつ存在するか。

$n^2+1, n^2+3, n^2+7, n^2+9, n^2+13, n^2+27$が連続する素数になる最小の正整数$n$は 10 である. 100万未満の$n$の総和は 1242490 である.

それでは, 1億5000万未満の$n$の総和を求めよ.

レーザー物理学では, "white cell"とはレーザー光線を遅延させるための鏡の装置のことである. 光線はcellに入り, 鏡で反射して, 最終的には飛び出す.

特定のwhite cellは, 方程式 4x2 + y2 = 100 で表される楕円と考えることができる.

−0.01 ≤ x ≤ +0.01 に対応する上部に穴が空いていて, 光線が出入りできるようになっている.

この問題では, 光線はwhite cellの外側 (0.0,10.1) から始まり, 最初に (1.4,-9.6) で鏡に反射するものとする.

光線は, 楕円の表面に当たるごとに, 反射の法則に従う. つまり, 入射する光線と反射する光線は入射する点の法線に対して同じ角度をなす.

上の左の図では, white cellと赤線で光線の最初に反射する2点を, 青線で最初に反射する点の接線を示している.

与えられた楕円に対する点 (x,y) での接線の傾きmは, m = -4x/y となる.

法線とは, 反射する点での接線に垂直な線である.

右側のanimationは光線の最初の10回の反射を示している.

光線はwhite cellから出るまでに何回反射するか?

三角形配列において, 含まれる要素の和が最小となるような部分三角形を求めたい.

下図では, マークされた三角形が, 和が -42 となり, この条件を満たすことは簡単に確かめられる.

1000行の三角形配列を作りたいので, 500500個の値の範囲が±219の擬似乱数$s_k$を以下のような線形合同法によって生成する.

$t := 0$ for k = 1 up to k = 500500:{ $t := (615949 \times t + 797807) \mod 2^{20}$ $s_k := t−2^{19}$ }

よって, $s_1 = 273519, s_2 = −153582, s_3 = 450905, \dots$となる.

三角配列は, 以下のように配置される.

$\begin{array}{c} s_1 \\ s_2 \; s_3 \\s_4 \; s_5 \; s_6 \\s_7 \; s_8 \; s_9 \; s_{10} \\ \vdots \end{array}$

部分三角形は, ある要素から始めて下にいくにつれ広くなっていくようなものを考える. (最初の要素の次の行は2つの要素を含む, その次の行は3つの要素を含む, といったように) "部分三角形の和"はそれが含む全ての要素の和とする. 最小の部分三角形の和を求めよ.

3x2 の斜め線が引かれた格子には, 下図で示されるように全部で37個の異なった長方形が存在する.

3x2 より横にも縦にも小さい5個の格子(つまり, 1x1, 2x1, 3x1, 1x2, 2x2)を考えると, それらに存在する長方形の数は以下のようになる.

1x1: 1 2x1: 4 3x1: 8 1x2: 4 2x2: 18

これらに3x2の格子の37を加えると, 全部で72個の異なった長方形が3x2以下の格子について存在する.

47x43以下の格子について存在する異なった長方形の数を求めよ.

下の表において, 任意の方向(縦横斜め)に隣り合うものの和の最大値は16 (= 8 + 7 + 1)となることは簡単に確かめられる.

いま, 同じ探索をより大きなものについてもしてみることにする.

まず, 400万個の擬似乱数を"Lagged Fibonacci Generator"によって生成する.

$1 ≤ k ≤ 55$について, $s_k = [100003 - 200003k + 300007k^3] (\mod 1000000) - 500000$ $56 ≤ k ≤ 4000000$について,$s_k = [s_{k-24} + s_{k-55} + 1000000] (\mod 1000000) - 500000$

つまり, s10 = -393027 , s100 = 86613 となる.

s の項は, 最初の2000個を最初の行に(順番に), 次の2000個を2番目の行に, というように, 2000x2000の表に並べ替えられる.

任意の方向(縦横斜め)に隣り合うものの和の最大値を求めよ. (連続して足す領域は３マス以上でもよい, 斜め４マス等も認める)

パスカルの三角形の最初の7列には7で割り切れる要素は一つもないことが簡単に分かる.

       1
      1 1
     1 2 1
    1 3 3 1
   1 4 6 4 1
 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

しかし最初の100列を調べると, 5050個の要素の内, 7で割り切れないものは2361個しかない.

パスカルの三角形の最初の10億列 ($10^9$列) の要素で7で割り切れないものの数を答えよ.