どの連続した3桁の和も9以下のような(9以下は9を含む)20桁の数(先頭の0は認めない)はいくつあるか?

線分は二つの端点によって一意に決まる。 平面上の2つの線分を考えると以下の3つの可能性がある： 共有点が0個の場合、共有点が1個の場合、無限に多くの共有点を持つ場合。

さらに、2つの線分が共有点を1つのみ持つとき、共有点がどちらかまたは両方の線分の端点である場合がある。もし共有点がどちらの線分の端点でもないなら、その点は両方の線分の内部の点である。 もし、線分 L1 と L2 の共有点 $T$ が $L_1$ と $L_2$ の唯一の共有点であり、両方の線分の内部の点であるとき、$T$ を真の交点と呼ぶことにする。

次の3つの線分 $L_1, L_2, L_3$ を考える。

$L_1$: (27, 44) から (12, 32) $L_2$: (46, 53) から (17, 62) $L_3$: (46, 70) から (22, 40)

$L_2$ と $L_3$ は真の交点を持つことが確かめられる。$L_3$ の1つの端点の(22,40)は $L_1$ 上にあるが、これは真の交点とならないことに注意せよ。$L_1$ と $L_2$ は共有点を持たない。つまり、上の3つの線分では、真の交点は1つとなる。

いま、同じことを5000個の線分に対して行うことにする。そのために、20,000個の数を "Blum Blum Shub" と呼ばれる擬似乱数生成法によって生成する。

$s_0 = 290797$ $s_{n+1} = s_n × s_n \bmod 50515093$ $t_n = s_n \bmod 500$

それぞれの線分を4つの連続する $t_n$ によって決める。つまり、最初の線分は $(t_1, t_2)$ から $(t_3, t_4)$ と与えられる。（訳注：$s_0, t_0$ は使わない。）

最初の4つの数は上の生成法によって 27, 144, 12, 232 となる。最初の線分は (27,144) から (12,232) となる。

上の5000個の線分に対して、相異なる真の交点はいくつあるか？

16進法では, 数は以下の16個の数字によって表される

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F

16進数の AF は, 10進法での$10\times 16 + 15 = 175$と等しい.

3桁の16進数 10A, 1A0, A10, A01 には, 0, 1, A の全てが現れている. 10進数で書くときと同様に, 先頭の0は書かないことにする.

0, 1, A がそれぞれ少なくとも1回は現れるような16桁までの16進数はいくつ存在するか? 16進数で答えよ.

(A,B,C,D,E,F は大文字とし, 先頭や末尾の16進数であることを表す記号や先頭の0は許されない. つまり, 1A3F ならOK. 1a3f, 0x1a3f, $1A3F, #1A3F, 0000001A3Fは許されない. )

0 ≤ d ≤ 9 なる d で埋められた 4x4 の格子がある.

以下の格子では, それぞれの行, 列の和が12となる. さらに, 斜めの和も12となる.

6 3 3 0 5 0 4 3 0 7 1 4 1 2 4 5

0 ≤ d ≤ 9 なる d で 4x4 の格子を, それぞれの行, 列, 斜めの和が同じとなるように埋める方法は何通りあるか?

正の整数$a,b$について, Ulam数列$U(a,b)$は以下のように定義される.$U(a,b)_1 = a , U(a,b)_2 = b$,$k > 2$については, $U(a,b)_k$は二つの異なった$U(a,b)$のそれまでの値の和としての表し方が一通りである数の$U(a,b)_{k-1}$を超える最小値となる.

例えば, 数列$U(1,2)$は, 1, 2, 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3, 6 = 2 + 4, 8 = 2 + 6, 11 = 3 + 8; となる. 5は, 5 = 1 + 4 = 2 + 3 というように二つの和の表し方があるのでこの数列に含まれない. 7 = 1 + 6 = 3 + 4 も同様である.

$\sum U(2,2n+1)_{1e11}$を$2 ≤ n ≤10$について求めよ.

----書き直してみる。

正の整数$a,b$に対して、Ulam数列$U(a,b) = u_1, u_2, \dots$は次のように定義される。 $u_1 = a$ $u_2 = b$ $k>2$について$u_k$は$u_{k-1}$を超える最小の値で、$U(a,b)$のそれ以前の要素$\{u_1,\dots,u_{k-1}\}$のうち異なる２要素の和としてただ１通りの表し方を持つ値とする。

例えば$U(1,2)$は $u_1 = 1$ $u_2 = 2$ $u_3 = 1 + 2 = 3$ $u_4 = 1 + 3 = 4$ $u_5 = 2 + 4 = 6$ $u_6 = 2 + 6 = 8$ $u_7 = 3 + 8 = 11$ $\vdots$ となる。$u_5$は、$5 = 1 + 4 = 2 + 3$というように二つの和の表し方があるので5にならず、5はこの数列に含まれない. $u_6$における$7 = 1 + 6 = 3 + 4$も同様である。

$U(a,b)$の第$k$項$u_k$を$U(a,b)[k]$と表す。$\displaystyle \sum_{n=2}^{10} U(2,2n+1)[10^{11}]$を求めよ。

各頂点から対辺の中点に足を下ろした正三角形を考える. 以下に大きさ1の三角形を示す.

この三角形には形, 大きさ, 方向, 位置のいずれかが異なる三角形が16個含まれる. 大きさ1の三角形をブロックとして, 大きい三角形が作れる. 大きさ2の三角形を上図に示す. 大きさ2の三角形には形, 大きさ, 方向, 位置のいずれかが異なる三角形が104個含まれる.

大きさ2の三角形は4個の大きさ1の三角形のブロックを含み, 大きさ3の三角形は9個の大きさ1の三角形のブロックを含む. 大きさ$n$の三角形は$n^2$個の大きさ1の三角形のブロックを含む.

T(n) を大きさnの三角形に含まれる三角形の数とすると,

T(1) = 16 T(2) = 104 となる.

T(36) を求めよ.

トリオミノとは3つの正方形を辺で繋げたものである. 以下は2つの基本形.

すべての方向を可能性に入れると, 以下の6つがある.

n x m が3で割り切れるならば, どのn x m の格子もトリオミノによって埋めることができる. 反転, 回転によって得られる埋めかたを別の埋め方とすると, 2 x 9 の格子では41通りの埋め方がある.

9 x 12 の格子では何通りの埋め方があるか?

6を1273と9854に掛けると,

6 × 1273 = 7638 6 × 9854 = 59124 となる.

これらの積をつなげることで, 1から9を網羅するパンデジタル数, 763859124を得る. 763859124を"6と(1273,9854)の連結された積"と呼ぶことにする. 元の数をつなげた 612739854も1から9を網羅する数であることに注意.

同じことが0から9を網羅する数にたいしてもできる.

元の数をつなげた数も0から9を網羅する数となるような, ある整数と二つ以上の整数の連結された積が0から9を網羅する数の最大値を求めよ.

(答えるべき数字が何なのか、文章が読み取りにくい）

0から9のパンデジタル数であるような、ある整数と二つ以上の整数の連結された積で、元の数をつなげた数も0から9のパンデジタル数であるものの最大値を求めよ。

自然数 142857 を考える. 最後の桁 (7) を一番前に持っていく, すなわち, 右に循環させると 714285 を得る.

714285 = 5 × 142857 が確認できる.

これは142857の珍しい性質を示している. つまり, 右に循環させた数の約数になっている.

$10 < n < 10^{100}$の$n$について, この性質をもつ数の総和の下5桁を答えよ.

(rotateに循環という訳語もあるが、回転の方が使われているような)

整数nを2のべき乗の和で表すことを考える. ただし各数は高々2回しか使ってはいけないものとする. この表し方の数を$f(n)$とする. ただし$f(0)=1$と定義する.

例として$n=10$を考える.

• 1+1+8

• 1+1+4+4

• 1+1+2+2+4

• 2+4+4

• 2+8

と5通りの異なる表し方があるので,$f(10)=5$である.

$f(10^{25})$を求めよ.