167 : Ulam数列について調べ上げよ

正の整数$a,b$について, Ulam数列$U(a,b)$は以下のように定義される.$U(a,b)_1 = a , U(a,b)_2 = b$,$k > 2$については, $U(a,b)_k$は二つの異なった$U(a,b)$のそれまでの値の和としての表し方が一通りである数の$U(a,b)_{k-1}$を超える最小値となる.

例えば, 数列$U(1,2)$は, 1, 2, 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3, 6 = 2 + 4, 8 = 2 + 6, 11 = 3 + 8; となる. 5は, 5 = 1 + 4 = 2 + 3 というように二つの和の表し方があるのでこの数列に含まれない. 7 = 1 + 6 = 3 + 4 も同様である.

$\sum U(2,2n+1)_{1e11}$を$2 ≤ n ≤10$について求めよ.

----書き直してみる。

正の整数$a,b$に対して、Ulam数列$U(a,b) = u_1, u_2, \dots$は次のように定義される。 $u_1 = a$ $u_2 = b$ $k>2$について$u_k$は$u_{k-1}$を超える最小の値で、$U(a,b)$のそれ以前の要素$\{u_1,\dots,u_{k-1}\}$のうち異なる２要素の和としてただ１通りの表し方を持つ値とする。

例えば$U(1,2)$は $u_1 = 1$ $u_2 = 2$ $u_3 = 1 + 2 = 3$ $u_4 = 1 + 3 = 4$ $u_5 = 2 + 4 = 6$ $u_6 = 2 + 6 = 8$ $u_7 = 3 + 8 = 11$ $\vdots$ となる。$u_5$は、$5 = 1 + 4 = 2 + 3$というように二つの和の表し方があるので5にならず、5はこの数列に含まれない. $u_6$における$7 = 1 + 6 = 3 + 4$も同様である。

$U(a,b)$の第$k$項$u_k$を$U(a,b)[k]$と表す。$\displaystyle \sum_{n=2}^{10} U(2,2n+1)[10^{11}]$を求めよ。