180 : 3変数をもつ関数の有理数の零点

あるnについて, 以下の三つの関数を定義する.

$f_{1,n}(x,y,z) = x^{n+1} + y^{n+1} - z^{n+1}$ $f_{2,n}(x,y,z) = (xy + yz + zx) \times (x^{n-1} + y^{n-1} - z^{n-1})$ $f_{3,n}(x,y,z) = xyz(x^{n-2} + y^{n-2} - z^{n-2})$

そしてそれらの組み合わせで以下を定義する.

$f_n(x,y,z) = f_{1,n}(x,y,z) + f_{2,n}(x,y,z) - f_{3,n}(x,y,z)$

$x,y,z$の全てが$a / b \; (0 < a < b ≤ k)$という形の有理数であり, かつ$f_n(x,y,z) = 0$となる整数$n$が（少なくとも一つ）存在するとき,$(x,y,z)$の組を"オーダー$k$の黄金の三つ組"と呼ぶことにする.

$s(x,y,z) = x + y + z$として, オーダー35の黄金の三つ組$(x,y,z)$について, 全ての相異なる$s(x,y,z)$の和を$t = u / v$とする. ただし,$s(x,y,z)$および$t$は既約であるとする.

$u + v$を求めよ.