ジークベルトとジョーがN個の小石の山を使い交互に行うゲームをする。

1. ジークベルトが最初に小石を取る。

   彼は（1からNの間で）好きなだけ小石を取ることができる。

2. 以降の各ターンで、順番になったプレイヤーは、

   少なくとも1個、最大で前回のプレイヤーが取った小石の数の倍の

   個数の小石を取る必要がある。

3. 最後の小石を取ったプレイヤーが勝ちとなる。

ジークベルトが最初のターンにすべての小石を取ることで常に勝つことができるが、 ゲームをより面白くするために、 （ジークベルトとジョーの両方が以降のゲームで最適な手を打つと仮定して） 彼がまだ勝つことを保証する最小数の小石を取ることを選択する。

小石$N$個の山に対するその最小の量を$H(N)$とする。$H(1)=1, H(4)=1, H(17)=1, H(8)=8, H(18)=5$である。

$G(n)$を$\displaystyle \sum_{k=1}^n H(k)$とする。$G(13)=43$である。

$G(23416728348467685)$はいくつか。

「ひふみ数」を次のように定義する。

• 1 は最小の ひふみ数 である。

• 10進数で表記したとき 1,2,3 のみで表記され、それぞれの出現回数が 0 またはひふみ数である正の整数は ひふみ数 である。

よって 2 は、数字 "2" ひとつからなり、1 は ひふみ数 なので、2 は ひふみ数 である。また 33 は、数字 "3" ふたつからなり、 2 は ひふみ数 なので 33 は ひふみ数 である。

一方で、3333 は数字 "3" 4つからなり、4 は ひふみ数 ではないので、3333 は ひふみ数 ではない。（原文の例では 1111 なのを変更した理由は何かしら。）

昇順に ひふみ数 を挙げると次のようになる： 1, 2, 3, 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, ...

を番目の ひふみ数 とする。例えば である。

を で求めよ。

Leonhard Eulerは1707年4月15日に生まれた。

数列$1504170715041707n \bmod 4503599627370517$を考える。

この数列の項は、それが全ての既に見つかったオイラーコインよりも真に小さいとき、オイラーコインであると定義する。

例えば、第1項$1504170715041707$は最初のオイラーコインである。第2項は$3008341430083414$で、これは$1504170715041707$より大きいのでオイラーコインではない。しかし第3項$8912517754604$は十分小さく、新たなオイラーコインとなる。

初めのふたつのオイラーコインの和は$1513083232796311$である。

全てのオイラーコインの和を求めよ。