$s(n)$を数字の和が$n$となる最小の数と定義する。例えば$s(10)=19$である。 $\displaystyle S(k) = \sum_{n=1}^k s(n)$と定義する。$S(20)=1074$である。

また、$f_i$を$f_0 = 0, f_1 = 1,$$i \geq 2$について$f_i = f_{i-2} + f_{i-1}$と定義されるフィボナッチ数列とする。

$\displaystyle \sum_{i=2}^{90} S(f_i)$を求めよ。答えは$\mod 1000000007$で示せ。

$2^7 = 128$は2の累乗の中で最初に出てくる "12" から始まる数である。 次に小さい "12" から始まる数は$2^{80}$である。

ここで、関数$p(L, n)$を$2^j$の10進表記が$L$で始まるような$j$であって$n$番目に小さい値とする。先述の例を用いると$p(12, 1) = 7, p(12, 2) = 80$となる。

さて、ここで$p(123,45) = 12710$である。

$p(123,678910)$を求めよ。