ユニットA とユニットB からなるグラフについて考える. ユニット同士を垂直方向の辺に沿ってくっつけてグラフにする. 下図はグラフの一例である.

(a,b,c)タイプの配置とは, 以下を満たすグラフのことである:

• a 個のユニットAと b 個のユニットBからなる

• 各頂点は色づけされていて, 最大で c 色まで使われている

• どの隣接する2頂点も同じ色にはならない

上のグラフは(2,2,6)タイプの配置の例である. 正確には c≥4 を満たす全ての c に対し, (2,2,c)タイプの配置となる.

N(a,b,c)を, (a,b,c)タイプの配置の数とする. 例えば N(1,0,3) = 24, N(0,2,4) = 92928, N(2,2,3) = 20736 である.

N(25,75,1984)の最下位8桁を求めよ.

正の整数全てを使って下の図のような三角形を作る:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 . . .

(*素数を赤文字に)

各正の整数は三角形の中で最大8個まで隣接した数字がある.

次の条件を満たす 3 つの素数の組を"三つ子素数"(prime triplet)と呼ぶ: 3 つの素数のうちの 1 つが他の 2 つと三角形の中で隣接する.

例えば 2 行目では 2 と 3 が三つ子素数の要素となる.

8 行目を見ると, 2 つの素数が三つ子素数の要素である. 29 と 31 のことである. 9 行目を見ると, たった 1 つの素数が三つ子素数の要素である. 37 のことである.

S(n) を n 行目の三つ子素数の要素の合計と定義する. S(8)=60, S(9)=37 となる.

S(10000)=950007619 である.

S(5678027) + S(7208785) を求めよ.

辺が整数の三角形で, 60度の角を1つだけ持つ三角形を「60度角の三角形」と呼ぶことにする. $r$を60度角の三角形の内接円の半径とする.

$r≤100$では60度角の三角形は1234個ある. $T(n)$を$r≤n$を満たす60度角の三角形の数とする. $T(100) = 1234, T(1000) = 22767, T(10000) = 359912$である.

$T(1053779)$を求めよ.

正の整数$n$が任意の素数の2乗によって割り切れないとき、$n$を平方因子を含まない(squarefree)と呼ぶ。1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11は平方因子を含まないが4, 8, 9, 12は含む。

$2^{50}$未満で平方因子を含まない数はいくつあるか？

$x$を実数とする. 分母の範囲が$d$での$x$の最適近似値とは次の条件を満たす既約の有理数$r/s$である: $s ≤ d$で, $r/s$より$x$に近い全ての既約の有理数は分母が$d$より大きい, つまり:

$|p/q-x| < |r/s-x| ⇒ q > d$

例えば分母の範囲が$20$での$\sqrt{13}$の最適近似値は$18/5$であり, 分母の範囲が$30$での$\sqrt{13}$の最適近似値は$101/28$である.

$1 < n ≤ 100000$で平方数でない$n$に対して, 分母の範囲が$10^{12}$での$\sqrt{n}$の最適近似値の全ての分母の合計を求めよ.

$f(x) = \lfloor 2^{30.403243784-x^2}\rfloor × 10^{-9}$ ($\lfloor \cdot \rfloor$は床関数)とし, 数列$u_n$を,$u_0 = -1, u_{n+1} = f(u_n)$と定義する.

$n = 10^{12}$で$u_n + u_{n+1}$を求めよ. 小数点以下を 9 桁で解答せよ.

3つの半径の等しい円が, 1つのもっと大きい円の中にあり, 各円は他の円とお互い接している. ただし中の円はお互いが重ならない. 4つのすき間があり, これを繰り返し接する円で埋めていく.

各ステップで, 全てのすき間にそれぞれ最大の円を置いていき, 結果として次のステップにはさらにすき間が増えていく. 3ステップ後には上の図のようになる. 108のすき間ができ, 円で埋められていない面積の比率は10進8桁に四捨五入して 0.06790342 となる.

10ステップ後に円で埋まっていない面積の比率はいくらか？ 10進数8桁に四捨五入し, x.xxxxxxxx という形で回答を入力せよ.

ある学校では出席率が高く遅刻率が低い生徒に褒賞金を出している. 3日連続で休む, または, 2回以上遅刻した生徒は褒賞金を得る権利を失う.

n日間の各生徒の出席状況を3進の文字列で表す. 文字はL (late, 遅刻), O (on time, 出席), A (absent, 欠席) である.

4日間の場合, 81通りの3進の文字列が考えられる. そのうち賞を貰えるのは以下の43個の文字列である.

OOOO OOOA OOOL OOAO OOAA OOAL OOLO OOLA OAOO OAOA
OAOL OAAO OAAL OALO OALA OLOO OLOA OLAO OLAA AOOO
AOOA AOOL AOAO AOAA AOAL AOLO AOLA AAOO AAOA AAOL
AALO AALA ALOO ALOA ALAO ALAA LOOO LOOA LOAO LOAA
LAOO LAOA LAAO

30日間の場合, 賞を貰える文字列は何通りか?

$p^2q^3$ ($p, q$は異なる素数)で表せる数をスキューブ(sqube)と定義する. 例えば, $200 = 5^2 \cdot 2^3, 120072949 = 23^2 \cdot 61^3$である.

最初の5つのスキューブは 72, 108, 200, 392, 500 である.

面白いことに, 200はどの1桁の数字を変更しても素数とならない最小の数である. この特徴をもつ数字を"耐素数性のある"(prime-proof)数と呼ぶ. 連続する部分文字列に "200" を持つ次の耐素数性のあるスキューブは 1992008 である.

連続する部分文字列に "200" を持つ 200 番目の耐素数性のあるスキューブを求めよ.

[訳注: sqube(スキューブ): square(平方数)とcube(立方数)からの造語]

実数$x$に対して, 分母が$d$以下になるような既約分数による最も正確な近似を$r/s$（$s ≤ d$, $r$と$s$は互いに素）とすると, $r/s$より$x$に近いいかなる有理数$p/q$についても$q > d$となる.

ほとんどの場合, 実数に対する最も正確な近似は, 任意の分母の上限$d$に対して一意に定まる. しかし, 中には$9/40$のような例外もある. $9/40$は, 分母の上限が$6$のとき, 最も正確な近似が$1/4$と$1/5$の2つ定まる. このように, 少なくとも一つの分母の上限$d$に対して, 最も正確な近似が2つ以上定まる実数$x$を「曖昧数」と呼ぶことにする. 明らかに, 曖昧数は有理数でなければならない.

$0 < x < 1/100$かつ$q ≤ 10^8$なる$x = p/q$について, 曖昧数は全部でいくつ存在するか.

(*192が類題、用語の統一？)