すべての三角形はその3つの頂点を通る外接円を持っている. 整数の辺を持ち, さらに外接円の半径も整数となる三角形について考えよう.

半径が n 以下の外接円を持つ上記のような三角形すべてについて, その外接円の半径を合計したものを S(n) としよう.

S(100)=4950, そして S(1200)=1653605 となる.

$S(10^7)$を求めよ.

オレゴン州の(自動車の)ナンバープレートは, 3つの文字のあとに(各桁が[0..9]の間をとりうる)3桁の数字が続くことで構成されている. セスは車で通勤中に以下のようなゲームをする: 旅程中に見た二つのナンバープレートの数字の合計が1000になったときに勝ちとする.

例えば MIC-012 と HAN-988 は勝ちとなり, RYU-500 と SET-500 も同様. (同じ旅程中に見る限りは)

勝つために見る必要のあるナンバープレートの数の期待値を求めよ. 小数点以下9桁の位で四捨五入して答えよ.

注記 : 各ナンバープレートを見るということは, 任意の三桁の数字を見るということと同様であると仮定する.

数 n の整数分割 (interger partition) とは, 正の整数の和が n となるような書き表し方のことである.

加える数の順序が違うだけの分割は同じものとみなす. n の成分別分割 (partition of n into distinct parts) とはすべての成分がたかだか1回だけ現れる n の分割を表す.

5の成分別分割は以下のようになる: 5, 4+1, 3+2.

n の成分別分割のうちその成分の積が最大となる時, その積を f(n), その分割の要素の数を m(n) としよう.

すなわち f(5)=6 そして m(5)=2 となる.

n=10 の時, 最大の積となる分割は 10=2+3+5 となり, f(10)=30, m(10)=3 となる. また, それらを掛けた積は, f(10)·m(10) = 30·3 = 90 となる.

1 ≤ n ≤ 100 のときの Σf(n)·m(n) = 1683550844462 であることが確かめられる.

$1 ≤ n ≤ 10^{14}$のときの Σf(n)·m(n) を求めよ. 5000万番目の素数, 982451653を法として答えよ.

以下のような規格外の目を持つサイコロについて考えよう。

サイコロ A: 1 4 4 4 4 4 サイコロ B: 2 2 2 5 5 5 サイコロ C: 3 3 3 3 3 6

2人の対局者が順番にサイコロを選びそれを振ってゲームをする。大きい目を出した対局者が勝者となる。

もし先手がサイコロ A を選び、後手がサイコロ B を選んだ場合、後手が勝つ確率は以下のようになる：

$\displaystyle P(後手の勝ち) = \frac{7}{12} > \frac{1}{2}$

もし先手がサイコロ B を選び、後手がサイコロ C を選んだ場合、後手が勝つ確率は以下のようになる：

$\displaystyle P(後手の勝ち) = \frac{7}{12} > \frac{1}{2}$

もし先手がサイコロ C を選び、後手がサイコロ A を選んだ場合、後手が勝つ確率は以下のようになる：

$\displaystyle P(後手の勝ち) = \frac{25}{36} > \frac{1}{2}$

つまり、先手がどのサイコロを選んでも、後手は別のサイコロを選んで50%より大きい勝率を得られる。 この性質を持つサイコロの集合のことをサイコロの非推移的集合と呼ぼう。

サイコロの非推移的集合がどのぐらいあるのか調査したい。以下の状況を仮定しよう：

• 3つの6面サイコロがあり、全ての面は1からNの間のいずれかの目である

• サイコロの目の配置にかかわらず、同じ目の集合を持つサイコロは同等とする

• 複数のサイコロに同じ目があってもよい。もし両方の対局者が同じ目を出した時はどちらも勝ちとならない

• サイコロの集合 {A,B,C}, {B,C,A}, {C,A,B} は同じ集合である

N = 7 のとき、そのような集合は 9780 組ある。 N = 30 のときはいくつあるだろうか？

各桁にゼロを持たず、桁の数の合計が 5 になる正の整数は16個ある。すなわち： 5, 14, 23, 32, 41, 113, 122, 131, 212, 221, 311, 1112, 1121, 1211, 2111, 11111 これらの和は17891である。

各桁にゼロを持たず、桁の数の合計が$n$になる正の整数の和を$f(n)$としよう。

$\displaystyle \sum_{i=1}^{17} f(13^i)$を求めよ。

回答は下9桁のみを入力せよ。

$m \times n$の迷路とは、左上の四角から反対の右下の四角へただ一つの通り道を持つ、格子の間を壁で仕切られた$m \times n$の長方形型格子である。 $9 \times 12$の迷路と$15 \times 20$の迷路の例を以下に示す。

異なる$m \times n$の迷路の数を$C(m,n)$で表すとしよう。回転や鏡映をさせて作られる迷路は別の迷路であると考える。

$C(1,1) = 1, C(2,2) = 4, C(3,4) = 2415, C(9,12) = 2.5720 \times 10^{46}$(有効数字5桁として四捨五入した指数表記)であることが確認できる。 $C(100,500)$を求め、5桁の有効数字として四捨五入した指数表記で表せ。

回答の際は、仮数部と指数部を分けるのに小文字の e を使うこと。例えば、答えが 1234567891011 のときは、回答のフォーマットは1.2346e12となる。

番目の三角数をとしよう。 すなわちである。

の約数の数をとしよう。 例えばとなる。

かつが成り立つ三数 (triples) の個数をとしよう。 となる。

を求めよ。 回答として最後の18桁を答えよ。

格子点$(x,y)$であって、$M<x≤N$, $M<y≤N$, $\displaystyle \left \lfloor \frac{y^2}{x^2} \right \rfloor$が奇数、という条件を満たすものの個数を$R(M,N)$と表すとしよう。

$R(0, 100) = 3019, R(100, 10000) = 29750422$となることが確かめられる. $R(2\cdot 10^6, 10^9)$を求めよ.

注記 : $\lfloor x \rfloor$は床関数(実数$x$に対して, $x$以下の最大の整数)を表す.

$x \leq y$かつ$x$と$y$の最小公倍数が$n$と等しくなる正の整数$x$と$y$の組$(x,y)$の個数を$f(n)$と表すとしよう。

$f$の総和関数を$g$としよう。すなわち$g(n) = \sum_{i=1}^n f(i)$である。

$g(10^6) = 37429395$がすでに与えられている。

$g(10^{12})$を求めよ。

以下の擬似乱数生成器により生成される整数の数列を Sn とする：

$S_0 = 290797$ $S_{n+1} ={S_n}^2 \mod 50515093$

$i \leq j$のとき、$A(i,j)$を$S_i, S_{i+1},\dots , S_j$の最小値とする。

$M(N) = \sum_{1 \leq i \leq j \leq N} A(i, j)$とする。

M(10) = 432256955, そして M(10 000) = 3264567774119 であることが確かめられる.

M(2 000 000 000) を求めよ.