$n$を$5^x$で割り切ることができる最大の整数$x$を$f_5(n)$で表すとしよう。 例えば$f_5(625000) = 7$となる。

$f_5((2i-1)!) < 2f_5(i!)$かつ$1 \leq i \leq n$を満たす$i$の個数を$T_5(n)$で表すとしよう。

$T_5(10^3) = 68, T_5(10^9) = 2408210$であることが確認できる。

$T_5(10^{18})$を求めよ。

(** 原文のcdotがいまいち意味不明で自信がない)

ハーシャッド数 (Harshad Number)あるいはニーベン数 (Niven Number)とは、自身の各桁の和で割り切ることのできる数のことである。 201は自身の各桁の和である3で割り切ることができるのでハーシャッド数である。 201の最後の桁を切り詰めると20が得られ、これはハーシャッド数である。 20の最後の桁を切り詰めると2が得られ、これもまたハーシャッド数である。 ハーシャッド数の最後の桁を再帰的に切り詰めていってもハーシャッド数となるものを右切り詰め可能ハーシャッド数 (right truncatable Harshad number)と呼ぼう。

同様に： 201/3=67は素数である。 その自身の各桁の和で割ると素数になるハーシャッド数を強いハーシャッド数 (strong Harshad number)と呼ぼう。

ここで素数2011を見てみよう。 最後の桁を切り詰めると201となり、これは強いハーシャッド数であるとともに右切り詰め可能である。 このような素数を強い右切り詰め可能ハーシャッド素数 (strong, right truncatable Harshad primes)と呼ぼう。

10000未満の強い右切り詰め可能ハーシャッド素数の和は90619となる。

$10^{14}$未満の強い右切り詰め可能ハーシャッド素数の和を求めよ。

ポリゴンとは、閉じた閉路になるよう組み合わされた直線分から成る平面図形のことである。ポリゴンは少なくとも3つの辺から成り、それ自身と交わることはない。

(* 閉じた閉路...)

正の整数の集合 S が以下の条件を満たすとき ポリゴン P を作る と呼ぼう：

• ポリゴン P が同じ長さの2つの辺を持たない

• ポリゴン P のすべての辺の長さが集合 S に含まれる

• 集合 S はそれ以外の値を含まない

例えば： 集合 {3, 4, 5} は 3, 4, 5 の長さの辺を持つポリゴン（三角形）を作る。 集合 {6, 9, 11, 24} は 6, 9, 11, 24 の長さの辺を持つポリゴン（四角形）を作る。 集合 {1, 2, 3} そして {2, 3, 4, 9} からはどんなポリゴンも作られない。

以下のように定義される数列$s$を考えよう：

• $s_1 = 1, s_2 = 2, s_3 = 3$

• $s_n = s_{n-1} + s_{n-3}$ （$n > 3$のとき）

集合$\{s_1, s_2, \dots, s_n\}$を$U_n$としよう。例えば、$U_{10} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41\}$である。 $U_n$の部分集合で、少なくとも一つのポリゴンを作ることができるものの個数を$f(n)$としよう。 例えば$f(5) = 7, f(10) = 501, f(25) = 18635853$となる。

$f(10^{18})$の最後の9桁を求めよ。

$0 \leq a,b,c \leq N$を満たすすべての格子点$(a,b,c)$について考えよう。

原点$O(0,0,0)$から別の格子点すべてに対して線が引かれる。 このとき、個別の （訳注：重複する線は一つとみなす）線の個数を$D(N)$で表すとしよう。

$D(1\,000\,000) = 831909254469114121$がすでに与えられている。

$D(10^{10})$を求めよ。回答は最初の9桁の後に最後の9桁を続けて答えよ。

辺の長さが$\sqrt{5}, \sqrt{65}, \sqrt{68}$の三角形を考えよう。この三角形の面積は9になることがわかる。

何らかの正の整数$b$と$c$に対して、$\sqrt{1+b^2}, \sqrt{1+c^2}, \sqrt{b^2+c^2}$の辺を持ち、面積が$n$以下の整数となる、すべての三角形の面積の和を$S(n)$とする。

例の三角形は$b=2, c=8$である。

$S(10^6)=18018206$である。

$S(10^{10})$を求めよ。

$n$を二進展開したものに存在する1の隣接ペアの個数を表す数列$a(n)$を定義しよう(隣接ペアは7の場合のように重なりがある可能性がある)。 例えば、$a(5) = a(101_2) = 0, a(6) = a(110_2) = 1, a(7) = a(111_2) = 2$となる。

数列$b(n)$を$b(n) = (-1)^{a(n)}$と定義しよう。 この数列はルーディン-シャピロ数列(Rudin-Shapiro sequence)と呼ばれる。

$b(n)$を順次総和してできる数列(summatory sequence)$s(n) = \sum_{i=0}^n b(i)$を考えよう。

これらの数列の最初の値は以下のようになる。

数列$s(n)$はすべての要素が正の整数となり, さらにその整数$k$はちょうど$k$回現れるという注目すべき性質を持っている。

数列$s(n)$に$t$が$c$回目に現れたときの$s(n)$における添字を、$1 \leq c \leq t$のとき$g(t,c)$と表すと定義しよう。 例えば$g(3,3) = 6, g(4,2) = 7, g(54321,12345) = 1220847710$となる。

$F(n)$を以下のように定義されるフィボナッチ数列としよう。 $F(0)=F(1)=1$ $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$（$n>1$のとき）

$GF(t)=g(F(t),F(t-1))$と定義しよう。

$2 ≤ t ≤ 45$に対する$\sum GF(t)$を求めよ。

$n$を整数とし、$n$の約数の集合を$S(n)$としよう。

$S(n)$の部分集合$A$が一つの要素のみを含むか、あるいは$A$のいかなる要素もその他のいずれの要素によっても割り切ることができないとき、$A$を$S(n)$の反鎖 (antichain) と呼ぼう。

例えば： $S(30) = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$ $\{2, 5, 6\}$は$S(30)$の反鎖ではない。 $\{2, 3, 5\}$は$S(30)$の反鎖である。

$S(n)$の反鎖のうち最大の長さとなるもののその長さを$N(n)$で表すとしよう。

$1 \leq n \leq 10^8$に対する$\sum N(n)$を求めよ。

(** 説明「互いに素」ではいけないのかしら。集合に「長さ」はない。en.wikipediaでは、antichainとはもっと一般化した内容で、widthという属性とともに説明されている。 https://en.wikipedia.org/wiki/Antichain )

平面上のいかなる三角形Tにおいても、Tの内部にぴったりと収まる, 最大の面積となる唯一の楕円の存在を示すことができる。

与えられたnに対し、以下の条件を満たす三角形Tを考えよう：

• Tの頂点がnの絶対値以下の整数座標を持つ

• T内の最大面積となる楕円の焦点が$(\sqrt{13},0)$と$(-\sqrt{13},0)$になる

このような三角形全ての面積の総和を$A(n)$としよう。

例えば$n = 8$のとき、そのような三角形が二つ存在する。それらの頂点は$(-4,-3),(-4,3),(8,0)$と$(4,3),(4,-3),(-8,0)$であり、三角形の面積はどちらも36になる。したがって$A(8) = 36 + 36 = 72$となる。

$A(10) = 252, A(100) = 34632, A(1000) = 3529008$であることが確認できる。

$A(1\,000\,000\,000)$を求めよ。

注：楕円の焦点とは、楕円の境界上の点Pに対しAP + BPが一定の長さとなる二点AとBのことである。

素数$p$に対して、$\displaystyle S(p) = \sum_{k=1}^5 (p-k)! \mod p$としよう。

例えば p=7 の場合、 (7-1)! + (7-2)! + (7-3)! + (7-4)! + (7-5)! = 6! + 5! + 4! + 3! + 2! = 720+120+24+6+2 = 872 $872 \mod 7 = 4$なので$S(7) = 4$である。

$5 \leq p < 100$に関して$\sum S(p) = 480$となる。

$5 \leq p < 10^8$に関して$\sum S(p)$を求めよ。

1つの偏りのない四面体のサイコロを振り、出た目Tを記録する。 T個の偏りのない六面体のサイコロを振り、出た目の合計Cを記録する。 C個の偏りのない八面体のサイコロを振り、出た目の合計Oを記録する。 O個の偏りのない十二面体のサイコロを振り、出た目の合計Dを記録する。 D個の偏りのない二十面体のサイコロを振り、出た目の合計Iを記録する。

Iの分散を求めよ。答えは四捨五入して小数点以下第4位までで入力せよ。