302 : 強アキレス数

ある自然数$n$がそのすべての素因数$p$について$p^2$で割り切れるとき多冪数と呼ぶ.

また, ある自然数$n$が別の自然数の累乗であるとき累乗数と呼ぶ.

多冪数のうち塁乗数でないものをアキレス数と呼ぶ. 例えば, $864(=2^5 \cdot 3^3)$や$1800(=2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2)$はアキレス数である.

ここで$S$と$φ(S)$（$φ$はオイラーのトーティエント関数）が共にアキレス数となるような自然数$S$を強アキレス数と呼ぶことにする. 例えば, 864は強アキレス数だが($φ(864)=288=2^5 \cdot 3^2$), 1800は強アキレス数ではない($φ(1800)=480=2^5 \cdot 3^1 \cdot 5^1$).

強アキレス数は$10^4$以下には7個, $10^8$以下には656個存在する.

$10^{18}$以下に強アキレス数はいくつ存在するか.