311 : biclinic整数四角形

四角形$\textrm{ABCD}$は各辺の長さが整数で$1 \leq \textrm{AB} < \textrm{BC} < \textrm{CD} < \textrm{AD}$をみたす凸四角形である. $\textrm{BD}$の長さは整数である. $\textrm{O}$は$\textrm{BD}$の中点で,$\textrm{AO}$の長さも整数である. $\textrm{AO} = \textrm{CO} \leq \textrm{BO} = \textrm{DO}$となるこのような四角形$\textrm{ABCD}$をbiclinic整数四角形と呼ぶ.

例えば以下の四角形はbiclinic整数四角形である. $\textrm{AB} = 19, \textrm{BC} = 29, \textrm{CD} = 37, \textrm{AD} = 43, \textrm{BD} = 48, \textrm{AO} = \textrm{CO} = 23$となっている.

$B(N)$を $\textrm{AB}^2+\textrm{BC}^2+\textrm{CD}^2+\textrm{AD}^2 \leq N$ をみたす, 異なるbiclinic整数四角形$\textrm{ABCD}$の数とする. $B(10\,000) = 49, B(1\,000\,000) = 38239$であることが確かめられる.

$B(10\,000\,000\,000)$を求めよ.