二項係数$\dbinom{n}{k}$は三角形の形に並べることができる. すなわちパスカルの三角形である. 以下を見よ.

上から$8$行見るとパスカルの三角形は$12$個の異なる数を含む. $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21, 35$である.

任意の素数の二乗が$n$を割り切らないとき, 正整数$n$が平方因子を持たないと言う. 先ほどの$12$個の数字を見ると, $4, 20$ の以外は平方因子を持たない. 従って, 最初の$8$行の平方因子を持たない異なる数の和は$105$になる.

パスカルの三角形の最初の$51$行に含まれる平方因子を持たない異なる数の和を答えよ.

数の集合$A$について,$sum(A)$で$A$の要素の和を表す. 集合$B = \{1,3,6,8,10,11\}$を考えよう. $B$の$3$要素の部分集合は$20$個あり, それぞれ和は以下になる.

これらの和は$1$つしか現れない場合もそうでない場合もある. 集合$A$について, $U(A,k)$で, $A$の$k$要素の集合全体について和を取ったときに$1$回のみ現れる和の集合を表す. 上の例をとると, $U(B,3) = \{10,12,14,18,21,25,27,29\}$であり, $sum(U(B,3)) = 156$となる.

今, $100$個の要素を持つ集合 $S = \{1^2, 2^2, ..., 100^2\}$を考える. $S$の$50$要素の部分集合は$100891344545564193334812497256$個ある.

$50$要素の部分集合の和の中で$1$回のみ現れる和の集合の総和を求めよ. すなわち, $sum(U(S,50))$を求めよ.

ピーターは4面のサイコロを9つ持っている。サイコロの各面には1,2,3,4と書いてある。コリンは6面のサイコロを6つ持っている。サイコロの各面には1,2,3,4,5,6と書いてある。

ピーターとコリンはサイコロを投じ、出た目の合計を比べる。合計が多い方が勝ちである。もし出た目の合計が等しければ勝負は引き分けになる。

ピーターがコリンに勝つ確率はいくつだろうか？10進7桁に四捨五入で丸め、0.abcdefgという形で答えよ。

二乗すると「$1\_2\_3\_4\_5\_6\_7\_8\_9\_0$」の形となるような唯一の正整数を求めよ. ただし「$\_$」は1桁の数である.

ハミング数とは, どの素因数も5以下であるような正整数のことである. 最初から順に並べると, $1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15$となる. $10^8$以下のハミング数は$1105$個ある.

素因数が$n$以下の正整数を,type $n$の一般化ハミング数と呼ぶことにする. するとハミング数はtype $5$の一般化ハミング数である.

$10^9$以下のtype $100$の一般化ハミング数の個数を答えよ.

いくつかの正整数 $k$ は, 整数の分割式 $4^t = 2^t + k$ が成り立つ. $4^t, 2^t, k$ は全て正の整数, $t$ は実数とする.

最初の $2$ つの分割は $4^1 = 2^1 + 2$ と $4^{1.5849625...} = 2^{1.5849625...} + 6$ である.

$t$ も整数である分割を完全と呼ぶ. $m \geq 1$を満たす $m$ に対して $P(m)$ を $k \leq m$ で分割が完全である割合と定義する. つまり $P(6) = 1/2$ である.

次の表はいくつかの $m$ に対する $P(m)$ の例である.

$P(m) \lt 1/12345$ を満たす最小の $m$ を求めよ.

正三角形$ABC$の内側に鏡が張られている. 各頂点にはレーザーが通れるような微小の穴がある.

$C$から入ったレーザーが, 内側の辺で$11$回反射し頂点Cから出て行くような経路は$2$つ存在する. $1$つを下に示す. もう$1$つはこの逆である.

$1000001$回反射し出て行くような経路は$80840$通り存在する.

$C$から入ったレーザーが, 内側の辺で$12017639147$回反射し, 元の頂点$C$から出て行くような経路はいくつ存在するか.

ロボットは $1/5$ の円弧(72°)を描き続けながら動く. 各ステップでは, 次の円弧を時計回りにするか反時計回りにするか好きに選べるが, その場では曲がらない.

北向きから始めて$25$回の円弧を経て, 閉路を描く道筋は$70932$通りあり, 下図はその一例である.

ロボットが北向きから始めて, $70$回の円弧を経て, 最後は元の位置に戻る道筋は何通りあるか. (円弧は何度交差してもよい)

$\mid x \mid + \mid y\mid \ \leq \ r$ を満たす整数の座標 $(x,y)$ の集合 $S(r)$ について考える. $O$ を点 $(0,0)$ とし, $C$ を点 $(r/4, r/4)$ とする. $N(r)$ を次の条件を満たす $S(r)$ 中の点 $B$ の数とする: 三角形 $OBC$ が鈍角を持つ, つまり 最大角 $\alpha$ が $90 \lt \alpha \lt 180$ を満たす. 例えば $N(4)=24, N(8)=100$ である.

$N(1,000,000,000)$ を求めよ.

$k$ 入力の2進真理値表は $k$ 個の入力ビット(2進数, 0(偽)または1(真))から 1 個の出力ビットへの写像である. 例えば, 論理和(AND)と排他的論理和(XOR)の 2 入力真理値表は以下の通り:

6ビットの入力 $(a,b,c,d,e,f)$ に対し, 以下の式を満たす6入力の2進真理値表 $\tau$ はいくつあるか.