内半径が $50 \textnormal{mm}$ のパイプを考える. このパイプの中に半径が $30 \textnormal{mm}, 31 \textnormal{mm}, \dots, 50 \textnormal{mm}$ の $21$ 個の球を収めたい. 最短のパイプの長さを求めよ.

μm ($10^{-6}$ m) 単位で一番近い整数に丸めて答えよ.

次の式を満たす整数 が存在するとき, 正整数 をアレクサンダー整数 (Alexandrian integer) と呼ぶ.

例えば, はアレクサンダー整数である . は 番目のアレクサンダー整数であり, 番目まで並べると となる.

番目のアレクサンダー整数を求めよ.

三辺 $(a \leq b \leq c)$ が全て整数の三角形で, 三辺が次の式を満たしているものを"わずかに鋭角(barely acute)"と呼ぶ.

周辺の長さが $25,000,000$ 以下のわずかに鋭角な三角形はいくつあるか.

三辺 $(a \leq b \leq c)$ が全て整数の三角形で, 三辺が次の式を満たしているものを"わずかに鈍角(barely obtuse)"と呼ぶ.

周辺の長さが $75,000,000$ 以下のわずかに鈍角な三角形はいくつあるか.

数列 $1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, 1201 \dots$ は, $T_{1}=T_{2}=T_{3}=1$ および $T_{n}=T_{n-1} + T_{n-2} + T_{n-3}$ によって定義される.

$27$ はこの数列の任意の項を割り切らないことが証明できる. $27$ はこの性質を持つ最初の奇数である.

この数列の任意の項を割り切らない $124$ 番目の奇数を求めよ.

ブラマンジェ曲線(高木曲線, blancmange curve)は を満たす の集合である.

は から最も近い整数への距離を表す.

ブラマンジェ曲線より下の面積は であり, 下図のピンク色の部分である.

"The Chase" とは2つのサイコロと偶数人のプレイヤーによって行われるゲームである.

各プレイヤーはテーブルの周りに座っている．対面にいる2人のプレイヤーがそれぞれ1つのサイコロを持っているところからゲームを開始する. 各ターンにサイコロを持っている2人のプレイヤーがそれぞれサイコロを振る. もしプレイヤーが1を出した場合は, そのプレイヤーは自分のサイコロを左隣の人に渡す. 6を出した場合には, 右隣の人に渡す. それ以外の数字が出た場合には, サイコロは移動しない. サイコロを振りサイコロの移動を終えたときに1人のプレイヤーが2つのサイコロを持っていた場合, そのプレイヤーは負けとなりゲームは終了する.

100人のプレイヤーでゲームを行ったとき, ゲームが終了するターンの期待値はいくつか?

11桁目を四捨五入し, 上位10進10桁を答えよ.

$S_{n}$ を正 $n$ 角形とし, 各頂点の座標が以下の式で表せるとする.

各 $S_{n}$ は辺上と内部の全ての点からなる, 塗りつぶされた図形とする.

2つの図形 $S,T$ のミンコフスキー和(Minkowski sum) $S+T$ は, $S$ 上の全ての点と $T$ 上の全ての点を足した結果である. 点の足し算は $(u, v) + (x, y) = (u+x, v+y)$ で求める.

例として, $S_{3}$ と $S_{4}$ の和は下図のピンク色の六角形で表せる.

$S_{1864} + S_{1865} + \dots + S_{1909}$ はいくつ辺を持つか.

任意の2つの数字列 に対し, を という数列で定義する. 各項は前の2つの項をつなげたものである.

さらに を の中で最初に少なくても 桁ある項の, 番目の数字と定義する.

例:

とする. ここで を求めたい.

の最初の数項は以下の通り:

は 5項目の 35番目の数字となり, である.

を円周率 の小数点に続く 桁とする.

をさらに続く 桁とする.

$3600$ は特殊な数字である, というのは以下の特徴があるからである.

同様に, $82201 = 99^{2} + 280^{2} = 287^{2} + 2×54^{2} = 283^{2} + 3×54^{2} = 197^{2} + 7×84^{2}$ である.

1747年, オイラーはどのような数が平方数の和で表せるか証明した. 我々は以下のような4通りの式で表せる数 $n$ に着目する.

$a_{k},b_{k}$ は正整数とする.

$10^{7}$ 以下ではこれを満たす整数は $75373$ 個ある. $2 \times 10^{9}$ 以下ではいくつあるか.