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221 : アレクサンダー整数

次の式を満たす整数 $p,q,r$ が存在するとき, 正整数 $A$ をアレクサンダー整数 (Alexandrian integer) と呼ぶ.

\begin{aligned} A &= p \cdot q \cdot r \\ &かつ \\ \frac{1}{A} &= \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} \end{aligned}

例えば, $630$ はアレクサンダー整数である $(p=5,q=-7,r=-18)$ . $630$ は $6$ 番目のアレクサンダー整数であり, $6$ 番目まで並べると $6, 42, 120, 156, 420, 630$ となる.

$150000$ 番目のアレクサンダー整数を求めよ.

次の式を満たす整数 $p,q,r$ が存在するとき, 正整数 $A$ をアレクサンダー整数 (Alexandrian integer) と呼ぶ.

\begin{aligned} A &= p \cdot q \cdot r \\ &かつ \\ \frac{1}{A} &= \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} \end{aligned}

$150000$ 番目のアレクサンダー整数を求めよ.