$k$ 個の異なる正の整数の積として $n$ を書き表す方法の数を $W(n,k)$ としよう。

例えば、$W(144,4)=7$ となる。4つの異なる正の整数の積として144を書き表す方法は7つある：

• 144 = 1×2×4×18

• 144 = 1×2×8×9

• 144 = 1×2×3×24

• 144 = 1×2×6×12

• 144 = 1×3×4×12

• 144 = 1×3×6×8

• 144 = 2×3×4×6

整数の順序を並び替えたものは異なるものとは考えないことに注意せよ。

さらに、$W(100!,10) \bmod 1\,000\,000\,007 = 287549200$ である。

$W(10000!,30) \bmod 1\,000\,000\,007$ を求めよ。

数列 $a_1, a_2, a_3, \dots$ を以下のように定義する：

• $a_1 = 1$

• $n \geq 1$ について、$a_{n+1} = 6{a_n}^2 + 10a_n + 3$

例えば： $a_3 = 2359$ $a_6 = 269221280981320216750489044576319$ $a_6 \bmod 1\,000\,000\,007 = 203064689$ $a_{100} \bmod 1\,000\,000\,007 = 456482974$

$B(x,y,n)$ を、$x \leq p \leq x + y$ である全ての素数 $p$ に対する $\sum (a_n \bmod p)$ と定義する。

例えば： $B(10^9, 10^3, 10^3) = 23674718882$ $B(10^9, 10^3, 10^{15}) = 20731563854$

$B(10^9, 10^7, 10^{15})$ を求めよ。

虹の７色について、それぞれの色の付けられたボールが10個ずつ、計70個が壺に入っている。 （壺の中に色の付いたボールが70個入っている。色の内訳は虹の７色の各色がそれぞれ10個ずつである。） ランダムに20個のボールを取り出したとき、色数の期待値はいくつか？ 小数点以下9桁にして（a.bcdefghij の形式で）答えよ。

0から9の数字をちょうど2回使った（先行ゼロのない）正整数をダブルパンデジタル数と呼ぼう。 例えば、40561817703823564929 はそのような数の一つである。

11で割り切れるダブルパンデジタル数はいくつあるか？

整数の辺を持つ三角形 ABC が次のように与えられる： 三角形 ABC の内心を I としよう。 三角形 ABC の外接円と線分 AI との交点を D としよう(A ≠ D).

AC = DI, かつ BC ≤ L を満たす三角形 ABC の BC の長さの総和を F(L) と定義する。

例えば F(15) = 45、なぜなら辺の長さがそれぞれ (BC,AC,AB) = (6,4,5), (12,8,10), (12,9,7), (15,9,16) となる三角形 ABC がこの条件を満たす。

$F(10^9)$ を求めよ。

コラッツ数列は次のように定義される： $a_{i+1} = \left \{ \begin{array}{cl}a_i / 2 & a_i が偶数のとき \\ 3a_i+1 & a_i が奇数のとき \end{array} \right .$

コラッツ予想では、いかなる正の整数から始めても、この数列は最終的に 1,4,2,1... という周期に入るとされている。 $a_1 = n$ から始まるコラッツ数列のうち、2のべき乗でない数からなる部分数列を、その数列の先頭の数を用いて $p(n)$ と表し、これを「数列プレフィックス」と定義する。 （この問題では $2^0 = 1$ は2のべき乗と見なす。）

例えば： $p(13) = \{13, 40, 20, 10, 5\}$ $p(8) = \{\}$ コラッツ予想に反する数が存在するならば、この部分数列は無限の長さを持つことになる。

長さ $m$ の全ての数列プレフィックスの集合を $S_m$ とする。$S_m$ 内の2つの数列 $\{a_1, a_2, \dots, a_m\}$ と $\{b_1, b_2, \dots, b_m\}$ が、$1 \leq i,j \leq m$ において $b_i < b_j$ かつそのときに限り $a_i < a_j$ であるならば、この数列は同じプレフィックスファミリーに属すると言うことにする。

例えば、集合 $S_4$ 内では、{6, 3, 10, 5} は {454, 227, 682, 341} と同じファミリーに属するが、{113, 340, 170, 85} はそうではない。 $S_m$ 内の異なるプレフィックスファミリーの個数を $f(m)$ と定義しよう。 f(5) = 5, f(10) = 55, f(20) = 6771 が与えられている。

f(90) を求めよ。