732 : トロールたちの肩に立つ

$N$人のトロールが深さ$D_N$cm の穴の中にいる。$n$番目のトロールは以下の特徴を持つ。

• 肩までの身長$h_n$cm

• 腕の長さ$l_n$cm

• IQ（Irascibility Quotient, 短気指数) $q_n$

トロールたちは下にいるトロールの肩の上に立つことにより、積み上がることができる。一番上のトロールの手が地表に届いたとき、そのトロールは穴から脱出できる。脱出できたトロールはこの脱出作戦にはもはや関与できなくなる。

トロールたちは、脱出するトロールのIQの合計$Q(N)$を最大にするように最適の作戦を立てる。

トロールたちの特徴は以下の式で与えられる。

$r_n = ((5^n \mod (10^9 + 7)) \mod 101) + 50$ $h_n = r_{3n}$ $l_n = r_{3n+1}$ $q_n = r_{3n+2}$ $\displaystyle D_N = \frac{1}{\sqrt 2} \sum_{n=0}^{N-1} h_n$

たとえば、最初のトロール$(n=0)$は肩までの身長51cm、腕の長さは55cm、IQ は75である。

$Q(5)=401, Q(15)=941$である。

$Q(1000)$を求めよ。

(* $r_n$の式、最外のカッコが$[ \dots ]$なのだけど多分$[ \{ ( \dots ) \} ]$なだけで特別な意味はなさそうなので、誤解のないように丸括弧に揃えた。違っていたらごめんなさい。)