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733 : 昇順の部分列

$a_i$ を、 $i \geq 1$ について $a_i = 153^i \mod 10\,000\,019$ で定義される数列とする。 $a_i$ は $153, 23409, 3581577, 7980255, 976697, 9434375, \dots$ である。

4項からなる昇順の部分列を考えよう。上に示した部分に関してそのようなものは、 153, 23409, 3581577, 7980255 153, 23409, 3581577, 9434375 153, 23409, 976697, 9434375 153, 3581577, 7980255, 9434375 23409, 3581577, 7980255, 9434375 である。

$a_i$ の最初の $n$ 項から得られるこのような昇順部分列の総和を $S(n)$ とする。すなわち $S(6) = 94513710$ である。また $S(100) = 4465488724217$ である。

$S(10^6)$ を $1\,000\,000\,007$ で割った余りを答えよ。

733 : 昇順の部分列

$a_i$ を、 $i \geq 1$ について $a_i = 153^i \mod 10\,000\,019$ で定義される数列とする。 $a_i$ は $153, 23409, 3581577, 7980255, 976697, 9434375, \dots$ である。

$a_i$ の最初の $n$ 項から得られるこのような昇順部分列の総和を $S(n)$ とする。すなわち $S(6) = 94513710$ である。また $S(100) = 4465488724217$ である。

$S(10^6)$ を $1\,000\,000\,007$ で割った余りを答えよ。