390 : 無理数の辺長と整数の面積を持つ三角形

辺の長さが$\sqrt{5}, \sqrt{65}, \sqrt{68}$の三角形を考えよう。この三角形の面積は9になることがわかる。

何らかの正の整数$b$と$c$に対して、$\sqrt{1+b^2}, \sqrt{1+c^2}, \sqrt{b^2+c^2}$の辺を持ち、面積が$n$以下の整数となる、すべての三角形の面積の和を$S(n)$とする。

例の三角形は$b=2, c=8$である。

$S(10^6)=18018206$である。

$S(10^{10})$を求めよ。