等差と等比を用いた次の数列を考える：$u(k) = (900-3k)r^{k-1}$ $s(n) = \sum_{k=1}^n u(k)$とする。

$s(5000) = -600,000,000,000$を満たす$r$を求めよ。

小数点以下12 桁に四捨五入して解答を入力せよ。

整数$n \geq 4$に対して、$\sqrt{n}$以下の最大の素数を$n$の下位素数平方根 (lower prime square root)とし、$lps(n)$と表す。同様に、$\sqrt{n}$以上の最小の素数を$n$の上位素数平方根 (upper prime square root)とし、$ups(n)$で表す。

例えば$lps(4) = 2 = ups(4), lps(1000) = 31, ups(1000) = 37$である。 $lps(n)$と$ups(n)$のいずれかが$n$を割り切るが、両方ではないとき、整数$n (\geq 4)$を半分割可能 (semidivisible)と呼ぼう。

15を超えない半分割可能な数は8, 10, 12で、それらの合計は30である。 15は$lps(15) = 3$と$ups(15) = 5$の両方の倍数なので、半分割可能でない。 さらに例を挙げると、1000 までの半分割可能な整数92個の合計は34825である。

999966663333 を超えない半分割可能な数全ての合計を求めよ。

を通る円上にある、整数の座標を持つ点の数をとする。

である。

を満たす正の整数全ての合計を求めよ。

二項係数$\displaystyle \left (\begin{array}{c}10\\3\end{array} \right )= 120$は $120 = 2^3 \times 3 \times 5 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5$および$2 + 2 + 2 + 3 + 5 = 14$を満たす。 つまり${}_{10}C_3$を素因数分解した項の和は$14$である。

$\displaystyle \left ( \begin{array}{c} 20\,000\,000 \\ 15\,000\,000 \end{array} \right )$を素因数分解した項の和を求めよ。

仕入れ業者'A'と'B'が豪華ギフトセット販売用に次の商品と品数を準備する。

仕入れ業者は商品を完全な状態で輸送するよう懸命に努力するが、いくつかは損傷してしまう。つまり、商品が駄目になってしまう。

業者は実績を次の2種類の統計で比較する。

• 各業者ごとの 5 つの「商品ごとの損傷率」は、損傷した商品の数を仕入れた商品の数で割ったものであり、これを 5 つの商品それぞれで求める。

• 各業者ごとの「全体損傷率」は全ての損傷した商品の数を仕入れた商品全ての数で割って求める。

驚いたことに、5つの各商品ごとの損傷率はAよりもBが悪く（高く）、その係数（損傷率を比較した比率）は同じ値であった。さらに、矛盾して見えるが、全体損傷率はBよりもAが悪く、その係数はやはりであることが業者の調べでわかった。

この驚くべき結果が起こるような35通りのが存在する。最小のはである。

最大のを求めよ。 各項が最小になるように約分した分数での形にして入力せよ。

6面のサイコロ（各面は 1 から 6）を 5 個振って、上位 3 個の合計が 15 となる場合は 1111 通りある。いくつか例を挙げる：

$D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,6,3,5$ $D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 4,3,3,5,6$ $D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 3,3,3,6,6$ $D_1,D_2,D_3,D_4,D_5 = 6,6,3,3,3$

12面のサイコロ（各面は 1 から 12）を 20 個振って、上位 10 個の合計が 70 となる場合は何通りあるか。

$T(n)$を、以下のルールに従い4 × n のゲーム盤上を進む順路の数と定義する：

• 左上の角から始める

• 1マス分の上下左右の移動を繰り返す

• 各マスを全てちょうど1回ずつ通る

• 左下の角で終わる

下の図は 4 × 10 の盤上の順路の一例である：

$T(10)$は 2329 である。$T(10^{12})$を$10^8$で割った余りを求めよ。

"Blum Blum Shub" 擬似乱数生成器を用いて数列を作る：

$s_0 = 14025256$ $s_{n+1} = (s_n)^2 \mod 20300713$

これらの数$s_0 s_1 s_2 \dots$を連結して無限長の数字列$w$を作る。 すなわち$w = 14025256741014958470038053646...$となる。

正の整数$k$に対し、もし数字の合計が$k$となる$w$の部分文字列が存在しないなら、$p(k)$を 0 と定義する。もし数字の合計が$k$となる$w$の部分文字列が少なくとも一つ存在するなら、$z$をそのような部分文字列の中で最も前に出てくる部分文字列の先頭の位置として、$p(k)=z$と定義する。

例えば：

部分文字列 1, 14, 1402, ... はそれぞれ数字の合計が 1, 5, 7, ... であり、 1文字めから始まるので、$p(1)=p(5)=p(7)=...=1$となる。

部分文字列 4, 402, 4025, ... はそれぞれ数字の合計が 4, 6, 11, ... であり、 2文字めから始まるので$p(4)=p(6)=p(11)=...=2$となる。

部分文字列 02, 0252, ... はそれぞれ数字の合計が 2, 9, ... であり、 3文字めから始まるので$p(2)=p(9)=...=3$となる。

部分文字列 025 は 3 文字めから始まり数字の合計は 7 だが、より前にある（1 文字めから始まる）部分文字列が数字の合計が 7 であるため、$p(7) = 1$であって 3 ではないことに注意せよ。

$0 < k ≤ 10^3$では$\sum p(k) = 4742$であることがわかる。

$0 < k ≤ 2 \times 10^{15}$において$\sum p(k)$を求めよ。

2人のプレイヤーが偏りのないコインを使用して"The Race"というゲームを交代で行う。

プレイヤー1のターンでは、コインを1回投げる。表が出たら1ポイントを獲得する。裏がでたらポイントは得られない。

プレイヤー2のターンでは、まずプレイヤー2は正整数$T$を選び、そしてコインを$T$回投げる。 もし全て表だったら$2^{T-1}$ポイントを得る。それ以外の場合はポイントは得られない。

プレイヤー1が先手である。勝者は先に100以上のポイントを得たプレイヤーである。

各ターンでプレイヤー2は自分が最も勝つ確率の高いコインを投げる回数$T$を選択する。

プレイヤー2の勝つ確率を求めよ。

10進数8桁に四捨五入し、0.abcdefgh という形で解答を入力せよ。

それぞれ 1 から 100 まで番号の書かれた円盤が一列に無作為に並んでいる。

ちょうど 22 個の素数の番号のディスクが、番号順の位置と異なる場所にある確率を求めよ。 （素数でない番号のディスクはどれも番号順の位置にあってもなくてもよい。）

解答は小数点以下12桁に四捨五入し, 0.abcdefghijkl の形で入力せよ。