与えられた平面上の点の集合に対し、以下を満たす凸多角形を凸ホール (convex hole)と定義する： 頂点は与えられた点のいくつかから成り、与えられた点を内部に含まない（頂点以外に、多角形の辺上に与えられた点があっても構わない）

例として、下の図は 20 個の点とそれに対するいくつかの凸ホールを示している。赤い多角形で示した凸ホールは 1049694.5 の単位正方形と面積が等しく、この点の集合に対し最大の凸ホールである。

この例では、次の擬似乱数によって生成された 最初の 20 個の点$(T_{2k−1}, T_{2k})$$(k = 1,2,\dots,20)$を使用した。

この擬似乱数生成器による最初の 500 個の点を使用する凸ホールの中で、最大の面積を求めよ。 小数点以下に1桁をつけて回答を入力せよ。

正整数の丸め平方根 (rounded-square-root)を、の平方根を一番近い整数に丸めたものと定義する。

次の方法（本質的には整数論に適用したヘロンの方法）での丸め平方根が求まる：

を数の桁数とする。 もしが奇数なら、とする。 もしが偶数なら、とする。

となるまでを繰り返す。

例として、の丸め平方根を求めてみよう。 は4桁であるので、である。

なのでここで止める。 つまり、たった 2 回の繰り返しで、4321の丸め平方根は 66 であることがわかる。（実際の平方根は 65.7343137... である。）

この方法を使うと繰り返しの回数は意外に少ない。例えば、5 桁の整数(10,000 ≤ n ≤ 99,999) では平均 3.2102888889 である。（平均は小数点以下 10 桁に四捨五入した。）

上記の方法を用いて、14桁の数の丸め平方根を求めるのに必要な繰り返しの回数の平均を求めよ。 回答は小数点以下10桁に四捨五入せよ。

注意：記号とはそれぞれ床関数と天井関数を表す。

数列を以下のように定義する。

• $0 ≤ k ≤ 1999$に対して$g_k = 1$

• $k ≥ 2000$に対して$g_k = g_{k-2000} + g_{k-1999}$

$k = 10^{18}$に対して$g_k \mod 20092010$を求めよ。

辺の長さが整数である三角形 ABC について考える。辺は a ≤ b ≤ c とする(AB = c, BC = a, AC = b)。三角形の角の二等分線は辺と E, F, G で交わる(下の図を参照)。

線分 EF, EG, FG は三角形 ABC を 4 つの三角形 AEG, BFE, CGF, EFG に分ける。これら 4 つの三角形において、比率 (ABCの面積)/(小三角形の面積)が有理数になることが証明されている。しかし、いくつかまたは全ての比率が整数になるような場合が存在する。

ABCの面積/AEGの面積 の比率が整数となるような、周辺の長さ ≤ 100,000,000 を満たす三角形 ABC はいくつあるか。

3 つの石の山と 2 人のプレイヤーでゲームを行う。 それぞれのターンで、プレイヤーは 1 個以上の石を山から取る。しかし、2 つ以上の山から取る場合は、選んだそれぞれの山から同じ数の石を取らないといけない。

つまり、プレイヤーは N>0 を選んで取る：

• N 個の石を 1 つの山から取る、または

• N 個の石を 2 つの山からそれぞれ取る（合計 2N 個）、または

• N 個の石を 3 つの山からそれぞれ取る（合計 3N 個）

最後の石を取ったプレイヤーが勝者である。

勝利状態とは最初のプレイヤーが勝つ状態のことである。 例えば、(0,0,13), (0,11,11), (5,5,5) は、最初のプレイヤーが全ての石を一度に取れるから勝利状態である。

敗北状態とは最初のプレイヤーがどんなことをしても 2 人目のプレイヤーが勝つ状態のことである。 例えば、(0,1,2) と (1,3,3) は敗北状態である。ルール上のどんな手を取っても 2 人目のプレイヤーの勝利状態となる。

$x_i ≤ y_i ≤ z_i ≤ 100$を満たす全ての敗北状態$(x_i,y_i,z_i)$について考える。 この場合$\sum (x_i+y_i+z_i) = 173895$であることがわかる。

$x_i ≤ y_i ≤ z_i ≤ 1000$を満たす全ての敗北状態であるを表す$(x_i,y_i,z_i)$について $\sum (x_i+y_i+z_i)$を求めよ。

$f(n)$を$n$の各桁の階乗の和とする。例えば$f(342) = 3! + 4! + 2! = 32$である。

$\textit{sf}(n)$を$f(n)$の各桁の和とする。つまり$\textit{sf}(342) = 3 + 2 = 5$である。

$g(i)$を$\textit{sf}(n) = i$を満たす最小の正整数$n$とする。$\textit{sf}(342)$は 5 だが、$\textit{sf}(25)$も 5 であり、$g(5) = 25$であることがわかる。

$\textit{sg}(i)$を$g(i)$の各桁の和とする。つまり$\textit{sg}(5) = 2 + 5 = 7$である。

さらに、$g(20)$は 267 であり、$1 ≤ i ≤ 20$において$\sum \textit{sg}(i)$は 156 であることがわかる。

$1 ≤ i ≤ 150$において$\sum \textit{sg}(i)$を求めよ。

以下の規則に従った数式の答えとなるような正整数を到達可能と定義する：

• 1 から 9 の数字を、この順番でちょうど 1 度ずつ使う

• 連続した数字はつなげることができる（例えば、数字 2, 3, 4 を使って数字 234 が得られる）

• 4 つの2項演算（足し算, 引き算, 掛け算, 割り算）のみが許される

• 各演算は何度も使えるし、一度も使われなくてもよい

• 単項のマイナスは使用できない

• 演算の順番を決めるために（入れ子でもよい）括弧を何度も使用してよい

例えば、(1/23) * ((4*5)-6) * (78-9) = 42 なので、42 は到達可能である。

全ての到達可能な正整数の合計を求めよ。

（正答者注：123456789も式として認められる）

小さい子供が"数字イモムシ"を持っている。これは 40 のジグソーピースからなり、それぞれのピースは 1 つ数字が書いてあり、一列につなげると 1 から 40 まで順番に並ぶ。

毎晩、子供の父親は遊戯室にばらまかれたイモムシのピースを拾い集めなければならない。父親は無作為にピースを拾っていき、正しい順序に並べていく。 このようにイモムシを組み立てていくと、徐々にくっついていっていくつかの断片が出来上がっていく。 断片の数は0（何もない状態）から始まり、だいたい 11 か 12 まで増えた後、やがてまた減っていき 1 （全部くっついた状態）で終わる。

例えば：

無作為にイモムシを片づける過程で起こった最大の断片の数をMとする。 10ピースのイモムシの場合では、各 M が起こる場合の数は次のようになる。

つまり M の最頻値は 3 で平均値は 385643/113400 = 3.400732 である。（小数点以下6桁に四捨五入）

40 ピースのイモムシの場合は M の最頻値は 11 である。では M の平均値は？

小数点以下6桁に四捨五入し回答せよ。

畳とは, 部屋の床を重なりなく敷き詰めるのに使われる長方形の敷物である。

手に入る畳の寸法を 1 × 2 のみと仮定すると、敷き詰める部屋の形や大きさには明らかにいくらかの制約がある。

本問では、整数の寸法 a, b, 偶数の大きさ s = a･b をもつ長方形の部屋のみを考える. 「大きさ」という言葉は部屋の表面積を表すのに用い、また一般性を失わないよう a ≦ b という条件を加える。

畳を並べるに当たって１つのルールがある：4 枚の異なる畳の角が合う箇所があってはならない。例えば、4ｘ4 の部屋に対し下記の二つの並べ方を考える：

左の並べ方は条件を満たすが, 右は満たさない：中央の赤 "X" は、4枚の畳の角が合う箇所を示している。

このルールにより、いくらかの偶数の大きさの部屋は畳を敷くことができない：これらを畳禁止の部屋と呼ぶ。さらに、大きさが s となる畳禁止の部屋の数を T(s) と定義する。

最も小さな畳禁止の部屋は、大きさが s = 70 で寸法が 7ｘ10 である。大きさが s = 70 の他の部屋はすべて畳を敷くことができる；1ｘ70, 2ｘ35, 5ｘ14 である。ゆえに T(70) = 1 である。

同様に、大きさが s = 1320 の畳禁止の部屋はちょうど 5 つあるため、T(1320) = 5 であることが確かめられる：20ｘ66, 22ｘ60, 24ｘ55, 30ｘ44, 33ｘ40 である。実際、s = 1320 は T(s) = 5 となる最も小さな部屋の大きさ s である。

T(s) = 200 となる最も小さな部屋の大きさ s を求めよ。

3 個の正整数の組が次の式を満たすときこれをカルダノトリプレット (Cardano Triplet) と呼ぶ：

例えば (2,1,5) はカルダノトリプレットである。

を満たすカルダノトリプレットは 149 ある。

を満たすカルダノトリプレットはいくつあるか。