真円のピザを m×n 個のピースに等分割し、各カットにちょうど 1 つずつトッピングを載せたい。

m (m ≥ 2)種の異なるトッピングをのせ、各トッピングがちょうど n (n ≥ 1)カットからなるピザを何通り作れるかを f(m,n) で表す。 反転は別物として、回転は同じものとして数える。

つまり例えば、f(2,1) = 1, f(2,2) = f(3,1) = 2, f(3,2) = 16 である。f(3,2) を下に示す。

(* 画像がGIFアニメしないので並べて示す。色覚に頼らない表現にする)

$f(m,n) \leq 10^{15}$を満たす全ての f(m,n) の合計を求めよ。

Albert は正整数 k を選び、さらに二つの実数 a, b を区間 [0,1] から一様分布でランダムに選ぶ。 次に、和$(ka+1)^2+(kb+1)^2$の平方根を計算し、最も近い整数に丸める。もし結果が k に等しければ、彼は k 点を得る。それ以外は 0 点である。

例えば、k=6, a=0.2, b=0.85 なら、$(ka+1)^2+(kb+1)^2=42.05$である。 42.05 の平方根は 6.484... で、最も近い整数は6になる。 この値は 6 に等しいため、彼は 6 点を得る。

$k=1, k=2, \dots, k=10$で 10 回プレイした場合、小数第６位で四捨五入した合計点の期待値は 10.20914 であることがわかる。

$k=1, k=2, k=3, \dots, k=10^5$で$10^5$回プレイした場合、小数第６位で四捨五入した合計点の期待値はいくらか？

辺の長さが6,8,10の三角形を考える。周長と面積は共に24である。よって、面積/周長の比は1である。

辺の長さが13,14,15の三角形を考える。周長は42であり、面積は84である。この三角形の面積/周長の比は2である。

辺の長さが整数で、面積/周長の比が1000以下の正整数になるようなすべての三角形の周長の和を求めよ。

(* 比が正整数、の正は不要では。)

10進数で3桁の数376は、のように2乗の末尾が自身と一致するという特徴を持つ数の一つである。このような特徴を持つ数を平方安定 (steady square) と呼ぶことにしよう。

平方安定は他の基数でも見られる。14進数では、3桁のc37はとなり平方安定である。そしてその桁の合計は14進数で c+3+7=18 である。文字 a,b,c,d は16進数と同様に、それぞれ 10, 11, 12, 13 を表すのに使っている。

1 ≤ n ≤ 9 では、14進数で n 桁の平方安定な全ての数の各桁の合計は 2d8（10進数で 582）である。最上位桁が 0 の平方安定は含めない。

14 進数で 1 ≤ n ≤ (10進数で)10000 の n 桁の平方安定な数の各桁の合計を求め、答を14進数で入力せよ。必要であれば文字は小文字を使用せよ。

非負整数に対し、アッカーマン関数は次のように定義される：

例えばである。

を求め、で割った余りを答えよ。

Barbaraは数学者でありバスケットボール選手である。彼女は、距離 x からシュートしたときに1点得点できる確率がちょうど (1-x/q) であることに気づいた。ここで q は 50 よりも大きな実定数である。

各予行練習では、彼女は 距離 x=1, x=2, ..., x=50 からシュートする。記録によると、合計点が 20 点ぴったりになる確率はちょうど 2 ％である。

q を求め、小数第11位を四捨五入して答えよ。

4分木による符号化を用いて、$2^N\times 2^N$の白黒画像を（0と1の）ビット列で表すことができる。このビット列は左から右へ以下のようにして解読する：

• 最初のビットは$2^N\times 2^N$全体の領域を表す

• "0" は分割を意味する： 対象の$2^n\times 2^n$の領域を4つの$2^{n-1}\times 2^{n-1}$の領域に分割し、続くビット列は左上、右上、左下、右下の順で分割された領域を表す

• "10" は対象の領域が黒いピクセルしか含んでいないことを表す

• "11" は対象の領域が白いピクセルしか含んでいないことを表す

下の 4×4 の画像について考える（色のついた印はどこで分割が起こるかを表す）：

この画像を表すビット列は複数存在する。例えば： "0(R)0(B)101010100(G)10111110110(o)10101010" は長さ 30 であり、または "0(R)100(G)101111101110" は長さ 16 であり、これはこの画像を表す最短のビット列である。

(* 文字に色を付ける代わりに(R)(B)(G)(o)を付記した、それぞれ赤緑青橙の意)

正の整数 N に対し、$D_N$を次の条件を満たす$2^N\times 2^N$の画像と定義する：

• 左下のピクセルを座標 x=0, y=0 とし、

• $(x-2^{N-1})^2+(y-2^{N-1})^2 ≤ 2^{2N-2}$なら(x,y)のピクセルは黒

• さもなくば(x,y)のピクセルは白

$D^{24}$を表す最短のビット列の長さを求めよ。

任意の素数$p$に対し$N(p,q) = \sum_{n=0}^q T_n \times p^n$とする。 $T_n$は以下の乱数生成器で生成する：

$S_0 = 290797$ $S_{n+1} = S_n^2 \mod 50515093$ $T_n = S_n \mod p$

$\textrm{Nfac}(p,q)$を$N(p,q)$の階乗とする。 $\textrm{NF}(p,q)$を$\textrm{Nfac}(p,q)$内の因数 p の個数とする。

$\textrm{NF}(3,10000) \mod 3^{20}=624955285$であることがわかる。

$\textrm{NF}(61,10^7) \mod 61^{10}$を求めよ。

$0 \leq n < 10^{18}$の範囲の整数で、桁の合計が$137n$の桁の合計と等しいようなものはいくつあるか？

C(x,y) を (x,y), (x,y+1), (x+1,y), (x+1, y+1) を通る円とする。

正の整数 m, n に対し, E(m,n) を以下の m×n 個の円からなる図形とする： {C(x,y): 0≤x<m, 0≤y<n, xとyは整数}

E(m,n) 上のオイラー閉路とは、全ての弧をちょうど1度ずつ通る経路のことである。 E(m,n) 上に多数のそのような経路があるが、ここでは自身と交わらないものだけを考える。交差のない経路では格子点上で自身の経路に触れるが、決して交差しない。

下の図は E(3,3) とその上の交差のないオイラー閉路の一例である。

L(m, n) を、 E(m, n) 上の交差のないオイラー閉路の個数とする。 例えば、 L(1,2)=2, L(2,2)=37, L(3,3)=104290 である。

$\textrm{L}(6,10) \mod 10^{10}$を求めよ。