辺の長さが整数で BC ≤ AC ≤ AB を満たす三角形 ABC がある。 k は角 ACB の二等分線である。 m は ABC の外接円に対する C での接線である。 n は B を通る m に平行な線である。 n と k の交点を E とする。

BE の長さが整数で周長が 100 000 を超えない三角形 ABC はいくつあるか？

以下の性質を持つ凸多角形をピタゴラス多角形 (pythagorean polygon) と呼ぶことにする：

• 少なくとも3つの頂点がある

• どの3つの頂点も並んでいない

• 各頂点は座標が整数である

• 各辺は辺長が整数である

与えられた整数 n に対し、P(n) を周長≤ n を満たす異なるピタゴラス多角形の数と定義する。 ピタゴラス多角形は平行移動で一致しないならば異なるとみなす。

P(4) = 1, P(30) = 3655, P(60) = 891045 である。 P(120) を求めよ。

フィボナッチ数列の各項は前の2つの項を足して生成される。 1 と 2 から始めて、最初の 10 項は 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 である。

全ての正整数はフィボナッチ数列の連続しない項の合計で一意に表せる。 例えば 100 = 3 + 8 + 89 である。 そのような合計はゼッケンドルフ表記 (Zeckendorf representation) と呼ばれる。

整数 n>0 に対し、z(n) を n のゼッケンドルフ表記の項の個数とする。 つまり z(5) = 1, z(14) = 2, z(100) = 3 となる。 また、$0<n<10^6$に対し$\sum z(n) = 7894453$である。

$0<n<10^{17}$に対し$\sum z(n)$を求めよ。

偶数の正整数$N$は、2の累乗であるか素因数が全て連続した素数である場合、許容的 (admissible) と呼ぶ。 最初の12個の許容的な数は 2,4,6,8,12,16,18,24,30,32,36,48 である。

$N$が許容的であれば、$N+M$が素数である最小の整数$M > 1$を$N$の擬似フォーチュン数 (pseudo-Fortunate number) と呼ぶ。

例えば、$N=630$は許容的である。630は偶数でその素因数は連続する素数 2, 3, 5, 7 だからである。 631より大きい次の素数は641である。つまり630の擬似フォーチュン数は$M=11$である。 16の擬似フォーチュン数は3であることがわかる。

$10^9$未満の許容的な数$N$に対して、全ての異なる擬似フォーチュン数の合計を求めよ。

正の整数 k に対し、k を通常の10進数で表したときの桁の合計を d(k) と定義する。つまり d(42) = 4+2 = 6 である。

正の整数 n に対し、S(n) を次の性質を満たす正の整数の個数と定義する：

• k は 23 で割り切れる、かつ

• d(k) = 23

S(9) = 263626, S(42) = 6377168878570056 であることがわかる。

を求め、を答えよ。

ラリーとロビンが次のような記憶ゲームを行う。1回ごとに 1 から 10 までの数のうちどれか 1 つがランダムに告げられていく。各プレイヤーは前に呼ばれた数字を 5 つまで覚えることができる。もし告げられた数字を記憶していたら、1ポイントを得る。もし記憶していなかった数字ならば、プレイヤーは呼ばれた数字を記憶に加え、このとき記憶が一杯であれば他の数字を取り除く。

両プレイヤー共に空の記憶から始める。各プレイヤーは共に記憶していなかった新たな数字を必ず記憶していくが、どの数字を忘れていくかを決める戦略が異なる。ラリーの戦略は一番長く呼ばれなかった数字を忘れる。ロビンの戦略は一番長く記憶していた数字を忘れる。

ゲームの例を挙げる：

ラリーの得点をLで、ロビンの得点をRで表すとして、50ターン後の |L-R| の期待値を求めよ。小数点以下8桁に四捨五入し、x.xxxxxxxxの形式で回答せよ。

非常に単純化すると、タンパク質は、疎水性要素 (H) と極性要素 (P) からなる列と考えることができる。例えばHHPPHHHPHHPHである。 本問では、タンパク質の方向は重要であるとする。たとえばHPPとPPHは別個のものとして考える。したがって、$n$個の要素からなる異なるタンパク質は$2^n$通りある。

これらの列が自然に存在するときは常に、エネルギー的に有利であるため、H-Hの接触点の数ができるだけ大きくなるよう折りたたまれている。 その結果、H要素は内側に集まり、P要素は外側になる傾向がある。 自然のタンパク質はもちろん三次元に折りたたまれているが、われわれは二次元に折りたたまれたタンパク質のみを考える。

下図は、例のタンパク質を折りたたむやり方を二通り示している（H-Hの接触点を赤い点で示している）。

左の折りたたみ方はH-Hの接触点が6 個しかないため、自然に起こることは決してない。 これに対して、右の折りたたみ方は接触点が9個あり、この列では最適である。

列の任意の位置においてH要素とP要素が等しい確率で出現すると仮定すると、長さ8のランダムなタンパク質の最適な折りたたみ方におけるH-Hの接触点の数は、平均して $850 / 2^8 = 3.3203125$となることが分かる。

長さ15のランダムなタンパク質の最適な折りたたみ方におけるH-Hの接触点の平均数はいくつか。 厳密な結果を必要な数の小数位を用いて答えよ。

次の条件を満たすとき、2つの円に囲まれた凸状の領域をレンズホール (lenticular hole)と呼ぶ：

• 円の中心が両方とも格子点上にある

• 2つの円は異なる2つの格子点上で交差する

• 両方の円で囲まれた凸状の領域の内部は格子点を含まない

次の円について考える： $C_0 : x^2 + y^2 = 25$ $C_1 : (x+4)^2 + (y-4)^2 =1$ $C_2 : (x-12)^2 + (y-4)^2 = 65$

円$C_0, C_1, C_2$を下図に示す。

$C_0$と$C_1$はレンズホールを形成する。$C_0$と$C_2$も同様である。

正の実数のペア$(r_1, r_2)$が次の条件を満たすとき、これをレンズペア (lenticular pair) と呼ぶ：レンズホールを形成するような半径$r_1$と半径$r_2$の2つの円が存在する。(1, 5) と (5, √65) は共にレンズペアであることが上の例から確かめられる。

L(N) を$0 < r_1 ≤ r_2 ≤ N$を満たす異なるレンズペア$(r_1, r_2)$の個数とする。 L(10) = 30, L(100) = 3442 であることが確かめられる。

L(100 000)を求めよ。

整数の座標をもつ4点が選ばれる： A(a, 0), B(b, 0), C(0, c), D(0, d) (0 < a < b かつ 0 < c < d) である。 線分AC上に、整数の座標をもつ点Pを、3つの三角形ABP, CDP, BDPが全て相似となるように選ぶ。

a = c のときにのみ3つの三角形が相似となり得ることは容易に証明できる。

そこで、a = c とし、3つの三角形ABP, CDP, BDPが全て相似となる点P（整数の座標をもつ）が少なくとも1つ存在するような3数の組 (a,b,d) を探すことにする。

例えば、(a,b,d) = (2,3,4) ならば、点P(1,1)が上の条件を満たすことが容易に確かめられる。3数の組 (2,3,4) と (2,4,3) は、点 P(1,1) は両者で共通ではあるが、異なるものとしてみなすことに注意。

b+d < 100 の場合、点Pが存在する異なる3数の組 (a,b,d) は92個ある。 b+d < 100,000 の場合、点Pが存在する異なる3数の組 (a,b,d) は320471個ある。 b+d < 100,000,000 の場合、点Pが存在する異なる3数の組 (a,b,d) は何個あるか。

素数$p$がある正の整数$x, y$に対して$\displaystyle p = \frac{x^4-y^4}{x^3+y^3}$を満たすとき、$p$を Panaitopol素数 と呼ぶ。

$5\times 10^{15}$未満のPanaitopol素数はいくつあるか。