242 : 三つ子奇数

集合$\{1,2,\dots,n\}$に対し、$f(n,k)$を要素の合計が奇数となるような$k$要素からなる部分集合の個数と定義する。例えば$f(5,3) = 4$である。なぜなら集合$\{1,2,3,4,5\}$には合計が奇数となる要素 3 個からなる部分集合は 4 つあるからである。すなわち$\{1,2,4\}, \{1,3,5\}, \{2,3,4\}, \{2,4,5\}$である。

$n, k, f(n,k)$が全て奇数であるとき、$[n,k,f(n,k)]$を三つ子奇数 (odd-triplet)と呼ぶことにする。

$n ≤ 10$ではちょうど 5 個の三つ子奇数が存在する。それらは： [1,1,f(1,1) = 1], [5,1,f(5,1) = 3], [5,5,f(5,5) = 1], [9,1,f(9,1) = 5], [9,9,f(9,9) = 1]

$n ≤ 10^{12}$に対し三つ子奇数はいくつあるか。