861 : 双ユニタリ約数の積

正の整数 $n$ のユニタリ約数とは、$n$ の約数 $d$ で、$gcd(d, \frac{n}{d}) = 1$ を満たすものをいう。

$n$ の双ユニタリ約数とは、約数 $d$ で、1が $d$ と $\frac{n}{d}$ に共通する唯一のユニタリ約数であるものをいう。

例えば、2は8の双ユニタリ約数である。2のユニタリ約数は {1, 2}、8/2 のユニタリ約数は {1, 4} であり、1が共通する唯一のユニタリ約数である。

240の双ユニタリ約数は {1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 15, 16, 24, 30, 40, 48, 80, 120, 240} である。

$n$ の全ての双ユニタリ約数の積を $P(n)$ とする。正の整数 $1<n \leq N$ で、$P(n)=n^k$ を満たすものの個数を $Q_k(n)$ とする。例えば $Q_2(10^2)=51, Q_6(10^6)=6189$である。

$\sum_{k=2}^{10} Q_k(10^{12})$ を求めよ。