正整数 $n$ から始めて、$n$ からそれを越えない完全立方数を引くという手順を、$n$ が $0$ になるまで繰り返す。 例えば、$n = 100$ とすると、この手順は4ステップで終わる。

$D(n)$ を、この手順のステップ数としよう。つまり $D(100) = 4$ である。

$S(N)$ を、$N$ より真に小さい全ての正整数 $n$ の $D(n)$ の和と定義する。 例えば $S(100) = 512$ である。

$S(10^{17})$ を求めよ。

正整数 $d$ に対して、$d$ の数字を昇順に整列し、0を除いて作られる数を $f(d)$ としよう。 例えば $f(3403) = 334$ である。

$n$ 桁もしくはそれ未満の全ての正整数 $d$ に対する $f(d)$ の和を $S(n)$ とする。 $S(1) = 45, S(5) = 1543545675$ である。

$S(18) \bmod 1123455689$ を求めよ。