558 : 無理数の基底

$x^3=x^2+1$ の実数解を $r$ とする。 全ての正の整数は $r$ の異なるべき乗の和として書くことができる。 項の数を有限、2つの指数の差を3以上とすると、一意に表現される。 例えば、$3=r^{-10} + r^{-5} + r^{-1} + r^2$, $10=r^{-10} +r^{-7} + r^6$ である。 興味深いことに、この関係はの複素数解にも成り立つ。

$n$ の一意表現の項数を $w(n)$ とする。したがって $w(3)=4, w(10)=3$ である。

より形式的には、全ての正の整数 $n$ について、いくつかの条件のもとで一意に表せる。

$\displaystyle n = \sum_{k=-\infty}^\infty b_k r^k$

• 全ての $k$ について $b_k$ は0か1

• 全ての $k$ について $k$$b_k+b_{k+1}+b_{k+2} \leq 1$

• $\displaystyle w(n)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} b_k$ は有限である

いま、$\displaystyle S(m)= \sum_{j=1}^{\infty} w(j^2)$ とする。 $S(10)=61$ と $S(1000)=19403$ が与えられている。

$S(5\,000\,000)$ を求めよ。