563 : ロボット溶接

ある会社は、単位正方形の金属板から始めて大きな長方形の金属板の製造を専門としている。溶接はロボットによって実行される。残念なことに、これらのロボットにプログラムできることはかなり限られている。それぞれが最大 25 枚までの同一の長方形の金属板しか処理できず、どちらかの端に沿って溶接してより大きな長方形を作成することだけができる。設定できるパラメータは、処理する長方形の数（25 以下）と、長辺を溶接するか短辺を溶接するかだけである。

例えば、最初のロボットには、11 枚の未加工の単位正方形プレートを溶接して $11\times 1$ の長方形を作成するようにプログラムできる。次のロボットには、これらの $11 \times 1$ の長方形 $10$ 枚を溶接して、より長い $110\times 1$ の長方形、または $11\times 10$ の長方形を作成するようにプログラムできる。多くの長方形はこの方法で作成できるが、全てではない。

ある常連客が次のような珍しい注文を出した。完成品の面積は注文どおりで、長辺は短辺の 1.1 倍以下でなければならない。これらの条件を複数の方法で満たすことができる場合、客は全てのサイズを要求する。例えば、面積 889200 の金属板が注文された場合、900×988、912×975、936×950 の 3 つのサイズを生産することになる。面積 889200 は、ロボット溶接機の制限内で 3 つの異なるサイズで製造できる最小面積である。

長辺が短辺の 1.1 倍以下であるようなちょうど n 種のサイズを作ることができる最小の面積を $M(n)$ とする。つまり $M(3)=889200$ である。

$\displaystyle \sum_{n=2}^{100} M(n)$ を求めよ。